Конспект урока: Вписанная и описанная окружности треугольника

Рис. 1. Окружность вписанная в неразвёрнутый угол

Если отрезок (луч) принадлежит прямой, которая является касательной к окружности, и при этом точка касания является точкой отрезка (луча), то считают, что данный отрезок (луч) является касательным к окружности.

Рассмотрим неразвёрнутый угол $A B C$ и впишем в него окружность с центром $O$ таким образом, чтобы она касалась сторон этого угла (рис. 1). Такую окружность называют вписанной в неразвёрнутый угол. При этом центр окружности равноудалён от сторон угла, следовательно, лежит на биссектрисе угла $A B C$.

Рис. 2. Окружность вписанная в треугольник ABC

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон, а треугольник называется описанным около этой окружности. 

На рисунке 2 треугольник $A B C$ описан около окружности с центром $O$, а треугольник $A D C$ не является описанным около этой окружности, так как сторона $A D$ не касается окружности. 

Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Рис. 3. Окружность вписанная в треугольник ABC

Рассмотрим треугольник $A B C$. Пусть его биссектрисы пересекаются в точке $O$ (рис. 3). Тогда по теореме о биссектрисе угла точка $O$ равноудалена от сторон треугольника. Таким образом, три перпендикуляра, проведенные из точки $O$ к сторонам данного треугольника, равны, т. е. $O D = O E = O F$. Следовательно, существует окружность с центром $O$, которая касается всех сторон треугольника $A B C$ в точках $D$, $E$, $F$, так как они перпендикулярны к радиусам $O D$, $O E$, $O F$. 

Докажем методом от противного, что эта окружность единственная.

Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда её центр одинаково удален от сторон треугольника и совпадает с $O$ – точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки $O$ до сторон треугольника. Таким образом, эта окружность совпадает с построенной.

Теорема доказана.

Рис. 4. Пример 1

Пусть стороны $A B$, $B C$ и $A C$ касаются окружности в точках $E$, $F$ и $G$ соответственно, отрезок $M K$ касается окружности в точке $D$. Тогда, по свойству отрезков касательной
($B E = B F$, $A E = A G$, $C F = C G$)

$A E + C F = A G + G C = A C = 10$ м,

$M K = M D + D K = M E + K F$.

Периметр треугольника $M B K$:

$P_{M B K} = B M + B K + M K =$

$= B M + B K + M E + K F = B E + B F =$

                $= A B + B C - A C = 5 + 7 - 10 = 2$ (см).

Ответ: $2$ см.

Рис. 5. Окружность, описанная около треугольника ABC

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности. 

В этом случае говорят, что треугольник является вписанным в данную окружность. На рисунке 4 окружность с центром $O$ описана около треугольника $A B C$. Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности.

Рис. 6. К доказательству теоремы об окружности, описанной около треугольника

Пусть прямые $a$ и $b$ – серединные перпендикуляры к сторонам $A B$ и $B C$ данного треугольника $A B C$ (рис. 5). 

Мы уже доказывали, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от вершин треугольника. Таким образом, $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$ и $O A = O B = O C$. Следовательно, существует окружность с центром $O$, проходящая через все вершины треугольника $A B C$.

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна. 

Допустим, что около треугольника можно описать ещё одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудалён от вершин треугольника и потому совпадает с $O$ – точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки $O$ до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной. 

Теорема доказана.