Конспект урока: Теорема Виета

Окружность. Построения циркулем и линейкой. Задачи на построение

План урока

Окружность
Построения циркулем и линейкой
Задачи на построение

Цели урока

Знать определение окружности
Знать элементы окружности
Уметь применять знания при решении задач
Уметь решать простейшие задачи на построение

Разминка

Назовите простейшие геометрические фигуры
Что такое отрезок?
Что такое луч?
Что такое угол?
Что такое треугольник?

Окружность

Рис. 1. Окружность с центром в точке О

Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром окружности.

Элементами окружности также являются радиус, хорда, диаметр.

Рис. 2. ОА - радиус окружности

Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности (рис. 2).

Рис. 3. ВС – хорда

Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности (рис. 3).

Рис. 4. DF - диаметр

Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности (рис. 4).

Все радиусы одной окружности равны.

Диаметр окружности в два раза больше радиуса.

Центр окружности является серединой диаметра.

Рис. 5. Дуги MTK и MBK

Дуга окружности - это часть окружности, ограниченная точками.

На рисунке 5 $M T K$ и $M B K$ – дуги, ограниченные точками $M$ и $K$ .

Рис. 6. Круг

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 6).

На чертеже окружность изображают с помощью циркуля.

На местности окружность можно провести с помощью верёвки. Один конец верёвки закрепляют (это центр окружности). При движении человека вокруг центра, второй конец верёвки описывает окружность, радиус которой равен длине верёвки.

Пример 1

Рис. 7. Пример 1

Дана окружность с центром в точке $O$ , отрезок $K T = D M$ . Доказать, что $∆ K O T = ∆ D O M$ (рис. 7).

Решение

Рассмотрим $∆ K O T$ и $∆ D O M$ :

$O K = O T = O D = O M$ - радиусы окружности,

$K T = D M$ - по условию.

$∆ K O T = ∆ D O M$ - по трём сторонам.

Что и требовалось доказать.

Упражнение 1

Рис. 8. Упражнение 1

1. На рисунке 8 дана окружность с центром в точке $O$ и проведены отрезки. Назовите среди них радиусы, хорды, диаметры этой окружности.

Рис. 9. Упражнение 1

2. На рисунке 9 дана окружность с центром в точке $O$ . Сравните периметры $∆ C O K$ и $∆ A O K$ , если $A K$ больше $C K$ на $8$ см.

3. Дана окружность с центром в точке $O$ , $K F$ и $M H$ - диаметры. Докажите, что хорды $K M$ и $H F$ равны.

Построения циркулем и линейкой

С помощью только двух инструментов: циркуля и линейки (без масштабных делений) можно выполнить многие геометрические построения.

С помощью линейки (без делений): провести произвольную прямую, построить прямую, проходящую через две точки.

С помощью циркуля: провести окружность произвольного радиуса, построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным некоторому отрезку.

В геометрии отдельно рассматривают задачи на построение, которые можно решить с помощью циркуля и линейки.

Задачи на построение

Задача 1

На данном луче от его начала построить отрезок, равный данному.

Решение

Рис. 10.

Пусть $A B$ - данный отрезок (рис. 10), $O M$ - данный луч (рис. 10-1).

Рис. 10-1.

Построим окружность с центром в точке $O$ , радиус которой равен отрезку $A B$ (рис. 10-2).

Рис. 10-2.

Точка $K$ - точка пересечения луча $O M$ и окружности (рис. 10-2).

Отрезок $O K$ – искомый.

Задача 2

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение

Рис. 11.

Пусть $∠ A$ - данный угол (рис. 11), $O M$ – данный луч (рис. 11-1).

Рис. 11-1.

1) Построим окружность с центром в вершине $A$ данного угла, радиус - произвольный.

Рис. 11-2.

2) Точки $B$ и $C$ - точки пересечения окружности со сторонами данного угла (рис. 11-2).

Рис. 11-3.

3) Построим окружность с центром в начале данного луча $O M$ и таким же радиусом.

Точка $P$ - точка пересечения окружности и луча $O M$ (рис. 11-3).

Рис. 11-4.

4) Построим окружность с центром в точке $P$ и радиусом, равным $B C$ .

Точка $K$ - точка пересечения окружностей с центрами в точках $O$ и $P$ (рис. 11-4).

Рис. 11-5

5) Построим луч $O K$

$∠ K O P$ - искомый.

Доказательство

Рис. 11-6.

$A C$ и $A B$ - радиусы окружности с центром в точке
$A$ , $O P$ и $O K$ – радиусы окружности с центром в точке $O$ . По построение эти окружности имеют одинаковые радиусы, значит, $A B = O K, A C = O P$ . По построению из пункта 3 $C B = K P$ тогда $∆ A B C = ∆ O K P$ по трем сторонам
(рис. 11-5). Треугольники равны, соответствующие элементы равны, т.е. $∠ K O P = ∠ B A C .$

$∠ K O P$ - искомый.

Что и требовалось доказать.

Задача 3

Построить биссектрису данного угла.

Решение

Рис. 12

Пусть $∠ A$ - данный угол (рис. 12).

Рис. 12-1.

1) Построим окружность с центром в точке $A$ , радиус произвольный. Точки $B$ и $C$ - точки пересечения окружности со сторонами данного угла (рис. 12-1).

Рис. 12-2.

2) Построим окружность с центром в точке $B$ радиуса $B C$ (рис. 12-2). Для этого поставим иглу циркуля в точку $B$ , а грифельный стержень – в точку $C$ и построим окружность.

Точка $E$ - точка пересечения этих двух окружностей.

Рис. 12-3.

3) Аналогично построим окружность с центром в точке $C$ радиуса $B C$ (рис. 12-3).

Рис. 12-4.

4) Пусть точка $E$ – одна из точек пересечения двух окружностей. Построим луч $A E$ (рис. 12-4).

Луч $A E$ - биссектриса данного угла.

Доказательство

Рис. 12-5.

Рассмотрим $∆ A B E$ и $∆ A C E$ (рис. 12-5). У них $A E$ – общая сторона, $A B = A C$ как радиусы окружности с центром в точке $A$ , $B E = C E$ по построению, тогда $∆ A B E = ∆ A C E$ по трем сторонам. Из этого следует, что $∠ B A E = ∠ C A E$ , т.е.
$A E$ – биссектриса $∠ B A C .$

Что и требовалось доказать

Задача 4

Построение перпендикулярных прямых

Дана прямая и лежащая на ней точка. Построить прямую, перпендикулярную к данной прямой и проходящую через данную точку.

Решение

Рис. 13.

Пусть $a$ - данная прямая, $C \in a$ (рис. 13).

Рис. 13-1.

1) Построим окружность с центром в точке $C$ произвольного радиуса. Точки $A$ и $B$ - точки пересечения окружности с прямой $a$ (рис. 13-1).

Рис. 13-2.

2) Построим окружность с центром в точке $A$ радиуса $A B$ и окружность с центром в точке $B$ радиуса $A B$ .

Точки $P$ и $K$ - точки пересечения этих двух окружностей.

Прямая $P C$ перпендикулярна прямой $a$ .

Доказательство

Рис. 13-3.

В $∆ A P B$ $A P = B P$ «как радиусы окружностей с радиусом, равным $A B$ , значит, $∆ A P B$ – равнобедренный. $A C = B C$ как радиусы окружности с центром в точке $C$ (см. рис. 13-2), т.е. $P C$ – медиана треугольника $A P B$ , а, значит, и высота по свойству равнобедренного треугольника, т.е. $P C ⊥ a$ .

Что и требовалось доказать.

Задача 5

Построение середины отрезка

Решение

Рис. 14.

Пусть $A B$ - данный отрезок (рис. 14).

Рис. 14-1.

Построим окружность с центром в точке $A$ радиуса $A B$ и окружность с центром в точке $B$ радиуса $A B$ .

Точки $P$ и $K$ - точки пересечения этих двух окружностей
(рис. 14-1).

Рис. 14-2.

Прямая $P K$ пересекает отрезок $A B$ в точке $C$ (рис. 14-2).

$C$ - середина отрезка $A B$ .

Доказательство

Рис. 14-3.

∆ A P K = ∆ B P K

- по трём сторонам (см. доказательство задачи 4), значит,

∠ 1 = ∠ 2

как соответствующие элементы в равных треугольниках.

$∆ A P B$ - равнобедренный, $P C$ - биссектриса, проведённая к основанию $A B$ , значит, $P C$ – медиана треугольника $A P B$ , т.е. $A C = C B .$

Упражнение 2

С помощью циркуля и линейки постройте отрезок $P T$ , равный данному отрезку $M H$ и постройте середину отрезка $P T$ .
Постройте угол $A O K$ - острый. С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису угла, смежного с углом $A O K$ .

Контрольные вопросы

1. Что такое окружность?

2. Назовите элементы окружности.

3. Что такое центр, радиус, хорда, диаметр окружности.

Ответы

Упражнение 1

Радиусы: $O A, O C, O M, O P, O K .$ Хорды: $A C, K M, P T, C P .$ Диаметры: $C P, K M .$
Периметр треугольника $A O K$ на $8$ см больше.
Указание: докажите, что $∆ K O M = ∆ H O F$ .

Конспект урока: Окружность. Построение циркулем и линейкой. Задачи на построение

Геометрические построения

Окружность

Построения циркулем и линейкой