- Окружность
- Построения циркулем и линейкой
- Задачи на построение
- Знать определение окружности
- Знать элементы окружности
- Уметь применять знания при решении задач
- Уметь решать простейшие задачи на построение
- Назовите простейшие геометрические фигуры
- Что такое отрезок?
- Что такое луч?
- Что такое угол?
- Что такое треугольник?
Окружность
Рис. 1. Окружность с центром в точке О
Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром окружности.
Элементами окружности также являются радиус, хорда, диаметр.
Рис. 2. ОА - радиус окружности
Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности (рис. 2).
Рис. 3. ВС – хорда
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности (рис. 3).
Рис. 4. DF - диаметр
Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности (рис. 4).
Все радиусы одной окружности равны.
Диаметр окружности в два раза больше радиуса.
Центр окружности является серединой диаметра.
Рис. 5. Дуги MTK и MBK
Дуга окружности - это часть окружности, ограниченная точками.
На рисунке 5 $M T K$ и $M B K$ – дуги, ограниченные точками $M$ и $K$.
Рис. 6. Круг
Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 6).
На чертеже окружность изображают с помощью циркуля.
На местности окружность можно провести с помощью верёвки. Один конец верёвки закрепляют (это центр окружности). При движении человека вокруг центра, второй конец верёвки описывает окружность, радиус которой равен длине верёвки.
Пример 1
Рис. 7. Пример 1
Дана окружность с центром в точке $O$, отрезок $K T = D M$. Доказать, что $\Delta K O T = \Delta D O M$ (рис. 7).
Решение
Рассмотрим $\Delta K O T$ и $\Delta D O M$:
$O K = O T = O D = O M$ - радиусы окружности,
$K T = D M$ - по условию.
$\Delta K O T = \Delta D O M$ - по трём сторонам.
Что и требовалось доказать.
Упражнение 1
Рис. 8. Упражнение 1
1. На рисунке 8 дана окружность с центром в точке $O$ и проведены отрезки. Назовите среди них радиусы, хорды, диаметры этой окружности.
Рис. 9. Упражнение 1
2. На рисунке 9 дана окружность с центром в точке $O$. Сравните периметры $\Delta C O K$ и $\Delta A O K$, если $A K$ больше $C K$ на $8$ см.
3. Дана окружность с центром в точке $O$, $K F$ и $M H$ - диаметры. Докажите, что хорды $K M$ и $H F$ равны.
Построения циркулем и линейкой
С помощью только двух инструментов: циркуля и линейки (без масштабных делений) можно выполнить многие геометрические построения.
С помощью линейки (без делений): провести произвольную прямую, построить прямую, проходящую через две точки.
С помощью циркуля: провести окружность произвольного радиуса, построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным некоторому отрезку.
В геометрии отдельно рассматривают задачи на построение, которые можно решить с помощью циркуля и линейки.
Задачи на построение
Задача 1
На данном луче от его начала построить отрезок, равный данному.
Решение
Рис. 10.
Пусть $A B$ - данный отрезок (рис. 10), $O M$ - данный луч (рис. 10-1).
Рис. 10-1.
Построим окружность с центром в точке $O$, радиус которой равен отрезку $A B$ (рис. 10-2).
Рис. 10-2.
Точка $K$ - точка пересечения луча $O M$ и окружности (рис. 10-2).
Отрезок $O K$ – искомый.
Задача 2
Отложить от данного луча угол, равный данному.
Решение
Рис. 11.
Пусть $\angle A$ - данный угол (рис. 11), $O M$ – данный луч (рис. 11-1).
Рис. 11-1.
1) Построим окружность с центром в вершине $A$ данного угла, радиус - произвольный.
Рис. 11-2.
2) Точки $B$ и $C$ - точки пересечения окружности со сторонами данного угла (рис. 11-2).
Рис. 11-3.
3) Построим окружность с центром в начале данного луча $O M$ и таким же радиусом.
Точка $P$ - точка пересечения окружности и луча $O M$ (рис. 11-3).
Рис. 11-4.
4) Построим окружность с центром в точке $P$ и радиусом, равным $B C$.
Точка $K$ - точка пересечения окружностей с центрами в точках $O$ и $P$ (рис. 11-4).
Рис. 11-5
5) Построим луч $O K$
$\angle K O P$ - искомый.
Доказательство
Рис. 11-6.
$A C$ и $A B$ - радиусы окружности с центром в точке
$A$, $O P$ и $O K$ – радиусы окружности с центром в точке $O$. По построение эти окружности имеют одинаковые радиусы, значит, $A B = O K , A C = O P$. По построению из пункта 3 $C B = K P$, тогда $\Delta A B C = \Delta O K P$ по трем сторонам
(рис. 11-5). Треугольники равны, соответствующие элементы равны, т.е. $\angle K O P = \angle B A C .$
$\angle K O P$ - искомый.
Что и требовалось доказать.
Задача 3
Построить биссектрису данного угла.
Решение
Рис. 12
Пусть $\angle A$ - данный угол (рис. 12).
Рис. 12-1.
1) Построим окружность с центром в точке $A$, радиус произвольный. Точки $B$ и $C$ - точки пересечения окружности со сторонами данного угла (рис. 12-1).
Рис. 12-2.
2) Построим окружность с центром в точке $B$ радиуса $B C$ (рис. 12-2). Для этого поставим иглу циркуля в точку $B$, а грифельный стержень – в точку $C$ и построим окружность.
Точка $E$ - точка пересечения этих двух окружностей.
Рис. 12-3.
3) Аналогично построим окружность с центром в точке $C$ радиуса $B C$ (рис. 12-3).
Рис. 12-4.
4) Пусть точка $E$ – одна из точек пересечения двух окружностей. Построим луч $A E$ (рис. 12-4).
Луч $A E$ - биссектриса данного угла.
Доказательство
Рис. 12-5.
Рассмотрим $\Delta A B E$ и $\Delta A C E$ (рис. 12-5). У них $A E$ – общая сторона, $A B = A C$ как радиусы окружности с центром в точке $A$, $B E = C E$ по построению, тогда $\Delta A B E = \Delta A C E$ по трем сторонам. Из этого следует, что $\angle B A E = \angle C A E$, т.е. $A E$ – биссектриса $\angle B A C .$
Что и требовалось доказать
Задача 4
Построение перпендикулярных прямых
Дана прямая и лежащая на ней точка. Построить прямую, перпендикулярную к данной прямой и проходящую через данную точку.
Решение
Рис. 13.
Пусть $a$ - данная прямая, $C \in a$ (рис. 13).
Рис. 13-1.
1) Построим окружность с центром в точке $C$ произвольного радиуса. Точки $A$ и $B$ - точки пересечения окружности с прямой $a$ (рис. 13-1).
Рис. 13-2.
2) Построим окружность с центром в точке $A$ радиуса $A B$ и окружность с центром в точке $B$ радиуса $A B$.
Точки $P$ и $K$ - точки пересечения этих двух окружностей.
Прямая $P C$ перпендикулярна прямой $a$.
Доказательство
Рис. 13-3.
В $\Delta A P B$ $A P = B P$ «как радиусы окружностей с радиусом, равным $A B$, значит, $\Delta A P B$ – равнобедренный. $A C = B C$ как радиусы окружности с центром в точке $C$ (см. рис. 13-2), т.е. $P C$ – медиана треугольника $A P B$, а, значит, и высота по свойству равнобедренного треугольника, т.е. $P C \bot a$.
Что и требовалось доказать.
Задача 5
Построение середины отрезка
Решение
Рис. 14.
Пусть $A B$ - данный отрезок (рис. 14).
Рис. 14-1.
Построим окружность с центром в точке $A$ радиуса $A B$ и окружность с центром в точке $B$ радиуса $A B$.
Точки $P$ и $K$ - точки пересечения этих двух окружностей
(рис. 14-1).
Рис. 14-2.
Прямая $P K$ пересекает отрезок $A B$ в точке $C$ (рис. 14-2).
$C$ - середина отрезка $A B$.
Доказательство
Рис. 14-3.
$\Delta A P B$ - равнобедренный, $P C$ - биссектриса, проведённая к основанию $A B$, значит, $P C$ – медиана треугольника $A P B$, т.е. $A C = C B .$
Упражнение 2
- С помощью циркуля и линейки постройте отрезок $P T$, равный данному отрезку $M H$ и постройте середину отрезка $P T$.
- Постройте угол $A O K$ - острый. С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису угла, смежного с углом $A O K$.
Контрольные вопросы
1. Что такое окружность?
2. Назовите элементы окружности.
3. Что такое центр, радиус, хорда, диаметр окружности.
Упражнение 1
- Радиусы: $O A , O C , O M , O P , O K .$ Хорды: $A C , K M , P T , C P .$ Диаметры: $C P , K M .$
- Периметр треугольника $A O K$ на $8$ см больше.
- Указание: докажите, что $\Delta K O M = \Delta H O F$.
