- Квадратные корни
- Арифметический квадратный корень
- Знать определения квадратного корня и арифметического квадратного корня
- Уметь находить значения выражений, содержащих квадратные корни из чисел, являющихся полным квадратом
- Уметь решать уравнения вида $\sqrt{x} = b$, где $b$ — некоторое число
- Решите уравнение:
а) $x^{2} = 4$; б) $y^{2} = \frac{1}{9}$; в) $z^{2} = 0$; г) $x^{2} = - 25$.
Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
Рассмотрим задачу.
Пример 1
Площадь квадрата равна $25$ см$^{2}$. Чему равна длина стороны этого квадрата?
Решение
Пусть сторона квадрата $x$ см. Тогда площадь квадрата равна $x^{2}$ см$^{2}$. По условию площадь квадрата равна $25 \text{см}^{2}$. Тогда получаем уравнение $x^{2} = 25$.
Корнями уравнения $x^{2} = 25$ являются числа $– 5$ и $5$, потому что $5^{2} = 25$ и $\left( – 5 \right)^{2} = 25$. Т.к. длина не может быть отрицательной, то условию задачи удовлетворяет только значение $5$. Итак, длина стороны квадрата $5$ см.
Ответ: $5$ см.
Квадратным корнем из числа $a$ называют число, квадрат которого равен $a$.
Корни уравнения $x^{2} = 25$, т.е. числа $– 5$ и $5$, квадраты которых равны $25$, являются квадратными корнями из числа $25$.
Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
Арифметический квадратный корень из числа $a$ обозначают $\sqrt{a}$ (читают: «квадратный корень из числа $a$»).
Знак $\sqrt{}$ называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала (от латинского слова radix — корень). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением.
Поэтому неотрицательный корень уравнения $x^{2} = 25$ — число $5$ — является арифметическим квадратным корнем из $25$: $\sqrt{25} = 5$.
Приведем примеры нахождения (или извлечения) арифметических квадратных корней.
Пример 2
Вычислите:
а)$\sqrt{9}$ ; б)$\sqrt{1,44}$ ; в)$\sqrt{0}$ .
Решение
а) $\sqrt{9} = 3$, так как $3$ — число неотрицательное и $3^{2} = 9$;
б) $\sqrt{1,44} = 1,2$, так как $1,2$ — число неотрицательное и $1,2^{2} = 1,44$;
в) $\sqrt{0} = 0$, так как $0$ — число неотрицательное и $0^{2} = 0$.
Ответ: а) $3$; б) $1,2$; в) $0$.
$\sqrt{a} = b ,$ если выполняются два условия:
1) $b \geq 0$; 2) $b^{2} = a$.
Следствие из определения арифметического квадратного корня:
при любом $a$, при котором выражение имеет смысл, верно равенство
$\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$.
При $a < 0$ выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла.
Квадрат любого числа — число неотрицательное, поэтому не имеют смысла выражения $\sqrt{- 36} , \sqrt{- 49}$.
Упражнение 1
Докажите, используя определение квадратного корня, что:
а) $\sqrt{16} = 4$; б) $\sqrt{169} = 13$; в) $\sqrt{1 \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$; г) $\sqrt{0,000225} = 0,015$.
Упражнение 2
Вычислите:
а) $\sqrt{100}$; б) $\sqrt{1600}$; в) $\sqrt{0,81}$; г) $\sqrt{0,04}$;
д) $\sqrt{\frac{25}{49}}$; е) $\sqrt{\frac{1}{64}}$; ж) $\sqrt{1 \frac{9}{16}}$; з) $\sqrt{5 \frac{4}{9}}$.
Упражнение 3
Вычислите: а) $\sqrt{25} - \sqrt{49}$ ; б) $\sqrt{16} \cdot \sqrt{9}$; в) $3 \sqrt{4} - \sqrt{36}$;
г) $\sqrt{0,36} - \sqrt{0,01}$; д) $- 3 \sqrt{0,49} + 2,6$ ; е) $0,04 \sqrt{0,04}$ .
Упражнение 4
Найдите значение x, при котором:
а) $\sqrt{x} = 1$ ; б) $\sqrt{x} = 0,2$; в) $5 \sqrt{x} = 0$; г) $\sqrt{x} - 6 = 0$ ; д) $\sqrt{x} = - 4$.
Контрольные вопросы
1. В чем разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным корнем?
2. Как еще называется знак арифметического квадратного корня?
3. Как называют операцию нахождения арифметического квадратного корня?
4. При каких значениях числа a имеет смысл $\sqrt{a}$?
Упражнение 2
а) 10; б) 40; в) 0,9; г) 0,2; д)$\frac{5}{7}$ ; е)$\frac{1}{8}$ ; ж) $\frac{5}{4}$; з) $\frac{7}{3}$.
Упражнение 3
а) -2; б) 12; в) 0; г) 0,5; д) 0,5; е) 0,008.
Упражнение 4
а) 1; б) 0,04; в) 0; г) 36; д) нет решения.