Конспект урока: Свойства арифметического квадратного корня

 

Теорема о корне из произведения

---

Если $a \geq 0$, $b \geq 0$, то $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

---

По условию  $a \geq 0 , b \geq 0$, поэтому каждое из выражений $\sqrt{a b}$ и $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ имеет смысл. Покажем, что выполняются два условия:

1) $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \geq 0$; 2) $( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} )^{2} = a b$.

Так как выражения $\sqrt{a} \geq 0 \text{и} \sqrt{b} \geq 0$, то произведение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \geq 0$.

Используя свойство степени произведения, получим

$( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} )^{2} = ( \sqrt{a} )^{2} \cdot ( \sqrt{b} )^{2} = a b$.

Таким образом, оба условия выполняются, а значит по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях a и b верно равенство 

$\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством:

 

---

---

Теорема о корне из дроби

---

Если $a \geq 0 , b > 0$, то $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

---

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. В данном случае необходимо показать выполнение двух условий:

1) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \geq 0$; 2) $( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} )^{2} = \frac{a}{b}$.

Проведите доказательство самостоятельно.

В результате получим еще одно свойство арифметического квадратного корня:

---

---

Применение теорем о корне из произведения и дроби

 

Рассмотрим несколько примеров на применение полученных свойств арифметического корня.

---

Найдите значение выражения $\sqrt{0,64 \cdot 25}$.
 

Решение
 

$\sqrt{0,64 \cdot 25} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{25} = 0,8 \cdot 5 = 4$

 

Ответ: 4.

 

---

Найдите значение выражения $\sqrt{18 \cdot 32}$.
 

Решение
 

$\sqrt{18 \cdot 32} = \sqrt{( 2 \cdot 9 ) \cdot ( 2 \cdot 16 ) } = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 16} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

 

Ответ: 24.

---

Найдите значение выражения $\sqrt{\frac{36}{121}}$.                    

 

Решение

 

$\sqrt{\frac{36}{121}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{121}} = \frac{6}{11}$

 

Ответ:  $\frac{6}{11}$.

 

---

Если в тождествах $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ поменять местами левые и правые части, получим 

 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

Этими тождествами пользуются при умножении и делении арифметических квадратных корней.

---

Найдите значение выражения $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52}$.                                                                                                  

 

Решение
 

$\sqrt{13} \cdot \sqrt{52} = \sqrt{13 \cdot 52} = \sqrt{13 \cdot ( 13 \cdot 4 )} = \sqrt{169 \cdot 4} = 13 \cdot 2 = 26$

 

Ответ: 26. 

---

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{112}}$.

 

Решение
 

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{112}} = \sqrt{\frac{7}{112}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

 

Ответ: $\frac{1}{4}$. 

---

Найдите значение выражений:

а) $\sqrt{25 \cdot 81}$; б) $\sqrt{16 \cdot 900}$; в) $\sqrt{2500 \cdot 49}$;

г) $\sqrt{0,09 \cdot 0,25}$; д) $\sqrt{400 \cdot 0,36}$; е) $\sqrt{9 \cdot 1,21}$.

---

Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{40 \cdot 490}$; б) $\sqrt{10 \cdot 640}$; в) $\sqrt{12 \cdot 27}$; г) $\sqrt{5 \cdot 45}$; д) $\sqrt{6,4 \cdot 90}$; е) $\sqrt{2,5 \cdot 40}$.

---

Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{\frac{49}{64}}$; б) $\sqrt{\frac{81}{100}}$; в) $\sqrt{\frac{9}{25}}$; г) $\sqrt{3 \frac{6}{25}}$; д) $\sqrt{2 \frac{46}{49}}$; е) $\sqrt{11 \frac{1}{9}}$.

---

Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}$; б) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{48}$; в) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{75}$; г) $\sqrt{4,5} \cdot \sqrt{72}$; 
д) $\sqrt{0,4} \cdot \sqrt{3,6}$; е) $\sqrt{200} \cdot \sqrt{0,18}$.

---

Найдите значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}}$; б) $\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}}$; в) $\frac{\sqrt{72000}}{\sqrt{2000}}$; г) $\frac{\sqrt{4,8}}{\sqrt{0,3}}$; д) $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{1,5}}$; е) $\frac{\sqrt{4,5}}{\sqrt{128}}$

---

1. Как формулируется теорема о квадратном корне из произведения?

2. Как формулируется теорема о квадратном корне из дроби?

3. Каким образом можно сформулировать данные свойства: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$, где $a \geq 0 , b \geq 0$и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, где $a \geq 0 , b > 0$ ?

---

---