- Вынесение множителя за знак корня
- Внесение множителя под знак корня
- Уметь выносить множитель за знак корня
- Уметь вносить неотрицательный множитель под знак корня
- Упростите выражение:
а) $\sqrt{x^{8}}$; б) $\sqrt{\left(- a\right)^{4}}$; в) $\sqrt{x^{6}}$, если $x > 0$; г) $\sqrt{y^{10}}$, если $y < 0$
Вынесение множителя за знак корня
Пример 1
Сравним значения выражений $\sqrt{108}$ и $7 \sqrt{3}$.
Решение
Разложим подкоренное выражение 108 на множители так, чтобы один из них был бы полным квадратом: $108 = 36 \cdot 3$.
Таким образом
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$.
Так как $6 \sqrt{3} < 7 \sqrt{3}$, то $\sqrt{108} < 7 \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{108} < 7 \sqrt{3}$.
Таким образом, при решении этой задачи мы заменили $\sqrt{108}$ на $6 \sqrt{3}$. Такое преобразование называют вынесением множителя за знак корня.
Упражнение 1
Упростите выражение:
а) $\sqrt{28}$; б) $\sqrt{99}$; в) $0,2 \sqrt{50}$; г) $\sqrt{5^{2} \cdot 3}$; д) $\sqrt{3^{4} \cdot 5}$; е) $\sqrt{2^{3} \cdot 3^{5}}$.
Пример 2
Вынесите множитель за знак корня в выражении $\sqrt{a^{5}}$.
Решение
Выражение $\sqrt{a^{5}}$ имеет смысл лишь при $a \geq 0$, так как если $a < 0$, то $a^{5} < 0$.
Представим подкоренное выражение $a^{5}$ в виде произведения $a^{5} = a^{4} \cdot a$, в котором множитель $a^{4}$ является степенью с четным показателем.
Тогда $\sqrt{a^{5}} = \sqrt{a^{4} \cdot a} = a^{2} \sqrt{a}$
.
Ответ: $a^{2} \sqrt{a}$.
Упражнение 2
Упростите выражение:
а) $\sqrt{11 a^{2}}$, где $a \geq 0$; б) $\sqrt{c^{3}}$; в) $\sqrt{5 x^{4}}$;
г) $\sqrt{3 b^{5}}$; д) $\sqrt{300 a^{7}}$; е) $\sqrt{36 m^{9}}$.
Внесение множителя под знак корня
Рассмотрим другой способ решения задачи из примера 1.
Пример 3
Сравним значения выражений $\sqrt{108}$ и $7 \sqrt{3}$.
Решение
В выражении $7 \sqrt{3}$ заменим число 7 на выражение $\sqrt{49}$ и выполним умножение корней:
$7 \sqrt{3} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{49 \cdot 3} = \sqrt{147}$.
Так как $\sqrt{108} < \sqrt{147}$, то $\sqrt{108} < 7 \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{108} < 7 \sqrt{3}$.
При решении задачи вторым способом мы заменили $7 \sqrt{3}$ на $\sqrt{147}$. Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня.
Пример 4
Внесите множитель под знак корня в выражении $- 3 \sqrt{2 a}$.
Решение
Множитель –3 представим в виде произведения –1 и положительного числа 3, которое представим в виде арифметического корня:
$- 3 = - 1 \cdot 3 = - 1 \cdot \sqrt{9}$.
Далее выполним умножение квадратных корней:
$- 3 \sqrt{2 a} = - 1 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2 a} = - 1 \cdot \sqrt{9 \cdot 2 a} = - \sqrt{18 a}$.
Ответ:$- \sqrt{18 a} .$
Пример 5
Внесите множитель под знак корня в выражении $x \sqrt{5}$.
Решение
Множитель $x$ может быть любым число — положительным, нулём или отрицательным. Рассмотрим два случая:
если $x \geq 0$, то $x \sqrt{5} = \left|x\right| \sqrt{5} = \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 x^{2}}$;
если $x \leq 0$, то $x \sqrt{5} = - \left|x\right| \sqrt{5} = - \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{5} = - \sqrt{5 x^{2}}$.
Ответ: $\sqrt{5 x^{2}}$ или $- \sqrt{5 x^{2}}$.
Упражнение 3
Внесите множитель под знак корня:
а) $6 \sqrt{2}$; б) $5 \sqrt{6}$; в) $- 3 \sqrt{2}$; г)$- 8 \sqrt{10}$.
Упражнение 4
Внесите множитель под знак корня:
а) $2 \sqrt{a}$; б) $\frac{1}{2} \sqrt{8 x}$; в) $- 10 \sqrt{2 p}$; г)$6 \sqrt{\frac{1}{6} m}$.
Упражнение 5
Внесите множитель под знак корня:
а) $x \sqrt{5}$, где $x < 0$; б) $x \sqrt{x}$; в) $a^{3} \sqrt{2}$, где $a < 0$.
Контрольные вопросы
1. Каким образом осуществляется вынесение множителя за знак корня?
2. Каким образом осуществляется внесение множителя под знак корня?
3. Число какого знака можно внести под знак корня?
Упражнение 1
а) $2 \sqrt{7}$; б) $3 \sqrt{11}$; в) $\sqrt{2}$; г) $5 \sqrt{3}$; д) $9 \sqrt{5}$; е) $18 \sqrt{6}$.
Упражнение 2
а) $a \sqrt{11}$; б) $c \sqrt{c}$ ; в) $x^{2} \sqrt{5}$; г) $b^{2} \sqrt{3 b}$; д) $10 a^{3} \sqrt{3 a}$; е) $6 m^{4} \sqrt{m}$.
Упражнение 3
а) $\sqrt{72}$; б) $\sqrt{150}$; в) $- \sqrt{18}$; г) $- \sqrt{640}$.
Упражнение 4
а) $\sqrt{4 a}$; б) $\sqrt{2 x}$; в) $- \sqrt{200 p}$; г) $\sqrt{6 m}$.
Упражнение 5
а) $- \sqrt{5 x^{2}}$; б) $\sqrt{x^{3}}$; в) $- \sqrt{2 a^{6}}$.
