Конспект урока: Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Правило умножения дробей

Умножение рациональных дробей выполняется по тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$,

где $a , b , c , d$ — некоторые многочлены, причем $b$ и $d$ — ненулевые многочлены.

Применение правила умножения дробей

Рассмотрим применение правила умножения дробей на конкретных примерах.

Выполните умножение дробей: $\frac{2 y}{9 x} \cdot \frac{3 x}{y^{2}}$.
 

Решение

Воспользуемся правилом умножения дробей:

$\frac{2 y}{9 x} \cdot \frac{3 x}{y^{2}} = \frac{2 y \cdot 3 x}{9 x \cdot y^{2}} = \frac{6 x y}{9 x y^{2}} = \frac{2}{3 y}$.

 Ответ: $\frac{2}{3 y}$.

Выполните умножение дробей: $\frac{x - y}{x^{2} + x y} \cdot \frac{y^{2} + x y}{( x - y )^{2}} .$

Решение
 

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби, воспользуемся правилом умножения дробей, и сократим полученную дробь:
 

$\frac{x - y}{x^{2} + x y} \cdot \frac{y^{2} + x y}{( x - y )^{2}} = \frac{( x - y ) \cdot y ( x + y )}{x ( x + y ) \cdot ( x - y )^{2}} = \frac{y}{x ( x - y )} = \frac{y}{x^{2} - x y}$.

Ответ: $\frac{y}{x^{2} - x y}$.

Представьте произведение $\frac{ y + 2}{x - y} \cdot \frac{y}{x + y}$ в виде рациональной дроби.
 

Решение
 

$\frac{y + 2}{x - y} \cdot \frac{y}{x + y} = \frac{( y + 2 ) \cdot y}{( x - y ) \cdot ( x + y )} = \frac{y^{2} + 2 y}{x^{2} - y^{2}}$.

Ответ: $\frac{y^{2} + 2 y}{x^{2} - y^{2}}$.

Выполните действия:$\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot ( x^{2} - 4 )$.
 

Решение
 

При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби со знаменателем 1 и затем применяют правило умножения дробей:

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot ( x^{2} - 4 ) = \frac{x - 2}{( x - 2 )^{2}} \cdot \frac{( x^{2} - 4 )}{1} = \frac{1 \cdot ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) \cdot 1} = x + 2$.

Ответ: $x + 2$.

Выполните действия с дробями:

а)$\frac{a^{2} b}{12 c} \cdot \frac{4 c}{a b^{2}}$; б)$6 x \cdot \frac{a}{3 x^{2}}$; в)$\frac{3}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{2 x - 4}{x}$; г)$( 3 a - 6 b ) \cdot \frac{a + 2 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$.

Правило умножения дробей можно распространить на случай произведения трёх и более рациональных дробей, сгруппировав множители попарно:
 

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{k}{l} = \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{k}{l} = \frac{a c}{b d} \cdot \frac{k}{l} = \frac{a c k}{b d l}$.

Правило возведения дроби в степень

Докажем правило возведения рациональной дроби в степень. Воспользуемся определением степени числа:

Применим правило умножения дробей в случае нескольких множителей:

Таким образом, $\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$.

Применение правила возведения дроби в натуральную степень

Рассмотрим пример применения правила возведения дроби в натуральную степень.

Возведите дробь $\frac{3 x^{2}}{2 y^{3}}$в четвертую степень.  
 

Решение
 

Воспользуемся правилом возведения дроби в степень и свойствами степеней чисел с натуральным показателем:
 

$\left(\frac{3 x^{2}}{2 y^{3}}\right)^{4} = \frac{( 3 x^{2} )^{4}}{( 2 y^{3} )^{4}} = \frac{3^{4} ( x^{2} )^{4}}{2^{4} ( y^{3} )^{4}} = \frac{81 x^{8}}{16 y^{12}}$.

Ответ:$\frac{81 x^{8}}{16 y^{12}}$.

Выполните действия с дробями: 

а)$\left(\frac{4 x}{3 y^{2}}\right)^{3}$;  б)$\left(\frac{2 k^{3}}{5 m^{3}}\right)^{4}$;  в)$\left(- \frac{5 a^{3}}{3 b^{4}}\right)^{3}$;  г)$\left(- \frac{x + 1}{2 z^{2}}\right)^{4}$.

1. По какому правилу выполняется умножение рациональных дробей?

2. Каким образом можно умножить многочлен на рациональную дробь?

3. Сформулируйте правило умножения нескольких (более двух) рациональных дробей.