Конспект урока: Построение графика квадратичной функции

Вершина параболы

Мы уже умеем строить график квадратичной функции вида $y = a ( x - m )^{2} + n$ с помощью параллельных переносов графика функции $y = a x^{2}$. Тогда если представить квадратичную функцию $y = a x^{2} + b x + c$ в этом виде, то мы легко сможем построить график любой квадратичной функции. 

Но выделять каждый раз квадрат двучлена долго, поэтому выразим $m$ и $n$ через коэффициенты квадратичной функции $a$, $b$ и $c$. Выделим из трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ квадрат двучлена: 

$a x^{2} + b x + c = a \left(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}\right) =$

$= a \left(x^{2} + 2 x \cdot \frac{b}{2 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}\right) =$

$= a \left(\left(x + \frac{b}{2 a}\right)^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}\right) = a \left(x + \frac{b}{2 a}\right)^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

Мы получили, что квадратичная функция $y = a ( x - m )^{2} + n$ имеет вид $y = a \left(x + \frac{b}{2 a}\right)^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$, т. е. $m = - \frac{b}{2 a}$, $n = \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a}$.

Значит, график функции $y = a x^{2} + b x + c$ есть парабола, которую можно получить из графика функции $y = a x^{2}$ помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси $x$ и сдвига вдоль оси $y$.

Заметим, что абсциссу $m$ вершины удобно находить по формуле $m = - \frac{b}{2 a}$. Ординату $n$ можно находить, подставив найденное значение абсциссы в формулу $y = a ( x - m )^{2} + n$, так как при $x = m :$

$y = a x^{2} + b x + c = a \left(x - m\right)^{2} + n = n$.

Другими словами, координаты вершины $( m ; n )$ параболы, графика квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$, можно записать в таком виде:

$\left(- \frac{b}{2 a} ; y \left(- \frac{b}{2 a}\right)\right)$.

Иногда для записи координат вершины параболы вместо $m$ и $n$ используют $x$ и $y$ с индексами, например, $\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ или $\left(x_{\text{в} .} ; y_{\text{в} .}\right)$.

Алгоритм построения графика квадратичной функции

Исходя из всех полученных выводов, можно подвести следующий итог. 

График функции $y = a x^{2} + b x + c$ есть парабола, которую можно получить из графика функции $y = a x^{2}$ с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси $x$ и сдвига вдоль оси $y$, вершиной которой является точка $( m ; n )$, где $m = - \frac{b}{2 a}$, $n = y ( m )$. Осью симметрии параболы служит прямая $x = m$, параллельная оси $y$. При $a > 0$ветви параболы направлены вверх, а при $a < 0$ - вниз.

Постройте график функции $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$.

y=2x²-2x-4" loading="lazy" /> Рис. 1. График функции 

y=2x²-2x-4

Решение

 

Графиком функции $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты $m$ и $n$ вершины этой параболы: 

$m = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{4} = \frac{1}{2}$,

$n = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 = - 4 \frac{1}{2}$.

 

Вершина параболы – точка $\left(\frac{1}{2} ; - 4 \frac{1}{2}\right)$.

 

 

Составим таблицу:

Построим график этой функции по таблице (рис. 1).

При составлении таблицы и построении графика учитывалось, что прямая $x = 0,5$ является осью симметрии параболы. Поэтому мы брали точки с абсциссами 0 и 1, -1 и 2, -2 и 3, симметричные относительно прямой $x = 0,5$ (эти точки имеют одинаковые ординаты).

Постройте график функции $y = - x^{2} + 4 x - 5$.

y=-x²+4x-5" loading="lazy" /> Рис. 2. График функции 

y=-x²+4x-5

Решение

 

Графиком функции $y = - x^{2} + 4 x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты $m$ и $n$ вершины этой параболы: 

 

$m = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{- 2} = 2$,

$n = - 2^{2} + 4 \cdot 2 - 5 = - 1$.

 

 

 

Вычислим координаты еще нескольких точек, получим таблицу:

Построим график этой функции по таблице (рис. 2).

Постройте график функции:

1. $y = - 0,5 x^{2} - 0,5 x + 3$
2. $y = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Ответы

Упражнение 1
1.

2 - 0,5x+3" loading="lazy" /> График функции y=-0,5x² - 0,5x+3

2.

2 - 6x+3" loading="lazy" /> График функции y=3x² - 6x+3