Конспект урока: Импульс. Изменение импульса материальной точки. Система тел. Закон сохранения импульса. Применение закона сохранения импульса при решении задач

Импульс. Изменение импульса материальной точки

Законы Ньютона позволяют определить характер движения тела, если известны силы, действующие на материальную точку. В случае, если действующие силы неизвестны, применяются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Любое тело, обладающее массой и скоростью, имеет импульс $\overrightarrow{p}$, модуль которого равен:

$p = m \cdot v$,

где $m \left[\text{кг}\right]$ — масса тела;
$v \left[\text{м}/c\right]$ — скорость тела;
$p \left[\text{кг} \cdot \text{м}/c\right]$ — импульс тела.

Импульс — векторная физическая величина, направление вектора $\overrightarrow{p}$ совпадает с направлением вектора скорости $\overrightarrow{v}$:
 

$\overrightarrow{p} = m \cdot \overrightarrow{v}$.
 

В СИ единицей измерения импульса является килограмм-метр в секунду (кг ∙ м/с).
 

Понятно, что изменение импульса материальной точки $\Delta p$ напрямую связано с изменением скорости $\Delta v$, следовательно, и с ускорением тела $a$.
 

По определению ускорение находится по следующей формуле:
 

$a = \frac{v - v_{0}}{\Delta t}$.
 

Согласно второму закону Ньютона ускорение тела есть отношение силы, действующей на тело, к массе этого тела:
 

$a = \frac{F}{m}$.
 

Объединим эти формулы и выразим силу F:

$F = m \cdot a = m \cdot \frac{v - v_{0}}{\Delta t} = \frac{m \cdot v - m \cdot v_{0}}{\Delta t} = \frac{p - p_{0}}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.

Таким образом, изменение импульса равно:
 

$\Delta p = F \cdot \Delta t$ или $\Delta \overrightarrow{p} = \overrightarrow{F} \cdot \Delta t$.

Данное выражение называется законом изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта или вторым законом Ньютона в импульсной форме.

Формула изменения импульса предполагает, что сумма всех сил F в течение времени Δt не изменяется. В противном случае промежуток времени Δt разбивают на такое количество промежутков, чтобы значение силы F можно было считать постоянным. Для каждого такого промежутка времени рассчитывается изменение импульса. Суммарное изменение импульса тела рассчитывается как сумма всех импульсов сил за рассматриваемые промежутки времени:

$\Delta \overrightarrow{p} = \Delta \overrightarrow{p_{1}} + \Delta \overrightarrow{p_{2}} + . . . + \Delta \overrightarrow{p_{n}}$.

Система тел. Импульс системы тел

Использование второго закона Ньютона в импульсной форме позволяет упростить решение задач на движение нескольких взаимодействующих тел.
 

Пусть необходимо выяснить, как будут двигаться два бильярдных шара после столкновения. Силы, с которыми шары подействовали друг на друга в момент удара, неизвестны. Несмотря на это, выражение изменения импульса даёт возможность описать движение данных тел.
 

Прежде всего, рассматриваемые тела следует объединить в систему тел. При объединении нескольких тел в систему все силы, приложенные к телам, разделяются на внутренние и внешние.

Рис. 1. Система, состоящая из двух тел

Например, на рисунке 1 изображены два бильярдных шара перед столкновением. В момент удара шар массой m₁ подействует на шар массой m₂ с силой $\overrightarrow{F_{12}}$, шар массой m₂, в свою очередь, подействует на шар массой m₁ с силой $\overrightarrow{F_{21}}$. Силы $\overrightarrow{F_{12}}$ и $\overrightarrow{F_{21}}$являются внутренними. В то же время на тела будут действовать силы тяжести $m_{1} \cdot \overrightarrow{g}$и $m_{2} \cdot \overrightarrow{g}$, силы реакции опоры $\overrightarrow{N_{1}}$ и $\overrightarrow{N_{2}}$, а также силы трения $\overrightarrow{F_{\text{т}p 1}}$ и $\overrightarrow{F_{\text{т}p 2}}$ о поверхность — это внешние силы, так как поверхность стола и Земля не входят в выбранную систему тел.

Рис. 2. Внешние и внутренние силы, действующие на систему тел

 

Внешние силы обозначают индексом «ex». Пусть сума всех внешних сил, действующих на шар массой m₁, равна $\overrightarrow{F_{1 ex}}$, на шар массой m₂ — $\overrightarrow{F_{2 ex}}$ (рис. 2).

Тогда на первый шар действуют силы $\overrightarrow{F_{12}}$ и $\overrightarrow{F_{1 ex}}$, на второй шар — силы $\overrightarrow{F_{21}}$ и $\overrightarrow{F_{2 ex}}$.
 

В соответствии с введёнными обозначениями изменения импульсов шаров за время Δt равны:

$\Delta \overrightarrow{p_{1}} = \left(\overrightarrow{F_{12}} + \overrightarrow{F_{1 ex}}\right) \cdot \Delta t$;

$\Delta \overrightarrow{p_{2}} = \left(\overrightarrow{F_{21}} + \overrightarrow{F_{2 ex}}\right) \cdot \Delta t$.

В нашем случае в систему входят только два тела, следовательно, суммарный импульс системы равен
 

$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{p_{1}} + \overrightarrow{p_{2}}$.
 

Изменение импульса системы тел равно сумме изменений импульсов каждого тела, входящего в систему:
 

$\Delta \overrightarrow{p} = \Delta \overrightarrow{p_{1}} + \Delta \overrightarrow{p_{2}}$.
 

Подставим в формулу изменения импульса выражения:
 

$\Delta \overrightarrow{p} = \left(\overrightarrow{F_{12}} + \overrightarrow{F_{1 ex}} + \overrightarrow{F_{21}} + \overrightarrow{F_{2 ex}}\right) \cdot \Delta t$.
 

Так как силы $\overrightarrow{F_{12}}$ и $\overrightarrow{F_{21}}$, с которыми взаимодействуют между собой бильярдные шары, по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма будет равна нулю $\overrightarrow{ F_{12}} + \overrightarrow{ F_{21}} = 0$. Тогда выражение выше принимает следующий вид:

$\Delta \overrightarrow{p} = \left(\overrightarrow{F_{1 ex}} + \overrightarrow{F_{2 ex}}\right) \cdot \Delta t$.

Закон сохранения импульса

Если сумма внешних сил равна нулю $\overrightarrow{ F_{1 ex}} + \overrightarrow{ F_{2 ex}} = 0$, изменение импульса данной системы также равно нулю $\Delta \overrightarrow{p}$.

Данное утверждение называется законом сохранения импульса.

При решении задач удобно использовать следующую формулировку закона сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то начальный импульс $\overrightarrow{p}$системы равен конечному импульсу $\overrightarrow{p} '$ данной системы:
 

$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{p} '$.
 

Для системы из n тел закон сохранения импульса будет иметь следующий вид:
 

$\overrightarrow{p_{1}} + \overrightarrow{p_{2}} + . . . + \overrightarrow{p_{n}} = \overrightarrow{p} '_{1} + \overrightarrow{p} '_{2} + . . . + \overrightarrow{p} '_{n}$.
 

При решении задач выражение выше записывают в проекциях на координатные оси:

$p_{1 x} + p_{2 x} + . . . + p_{n x} = p '_{1 x} + p '_{2 x} + . . . + p '_{n x}$;
$p_{1 y} + p_{2 y} + . . . + p_{n y} = p '_{1 y} + p '_{2 y} + . . . + p '_{n y}$.
 

В некоторых случаях сохраняется проекция импульса системы тел на одну из координатных осей, а проекция на другую ось изменяется.

Запишем уравнение в проекциях на координатные оси:
 

$\Delta p_{x} = \left(F_{1 ex_{x}} + F_{2 ex_{x}}\right) \cdot \Delta t$.
 

В случае, если $F_{1 ex_{x}} + F_{2 ex_{x}} = 0$, проекция изменения импульса системы также равна нулю $\Delta p_{x} = 0$. При этом проекция изменения импульса системы на ось ординат, а значит и вектор $\Delta \overrightarrow{p}$, могут оказаться отличными от нуля.

Итоги

• Импульс тела  $\overrightarrow{p}$ — это физическая величина, равная произведению массы на скорость: $\overrightarrow{p} = m \cdot \overrightarrow{v}$.
• В инерциальной системе отсчёта изменение импульса Δp материальной точки за промежуток времени Δt равно произведению суммы всех сил F, действующих на тело, на данный промежуток времени: $\Delta \overrightarrow{p} = \overrightarrow{F} \cdot \Delta t$. Произведение $\overrightarrow{F} \cdot \Delta t$ называется импульсом силы.
• Импульсом системы тел $\overrightarrow{p}$ называется сумма импульсов всех тел, входящих в рассматриваемую систему: $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{p_{1}} + \overrightarrow{p_{2}} + . . . + \overrightarrow{p_{n}}$.
• Закон изменения импульса системы тел: изменение импульса системы тел $\Delta \overrightarrow{p}$ в инерциальной системе отсчёта равно произведению постоянной суммы всех внешних сил на время их действия: $\Delta \overrightarrow{p} = \left(\overrightarrow{F_{1 ex}} + \overrightarrow{F_{2 ex}}\right) \cdot \Delta t$.
• Закон сохранения импульса: если сумма всех внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равна нулю, то импульс системы тел в инерциальной системе отсчёта остаётся постоянным с течением времени: $\overrightarrow{p_{1}} + \overrightarrow{p_{2}} + . . . + \overrightarrow{p_{n}} = \overrightarrow{p} '_{1} + \overrightarrow{p} '_{2} + . . . + \overrightarrow{p} '_{n}$.