- Сфера и шар.
- Знать, что такое сфера, ее центр, радиус и диаметр;
- Знать определение шара;
- Знать формулу площади сферы;
- Уметь вычислять площадь сферы;
- Знать формулу объема шара;
- Уметь вычислять объем шара.
- Какая фигура называется конусом?
- Что такое цилиндр?
- Что такое коническая поверхность?
- Чему равна площадь боковой поверхности конуса?
- Как найти объем конуса?
Сфера и шар
Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (рис. 1).
Рис. 1. Сфера
На рисунке 1 данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние на рисунке обозначено $R$ и называется радиусом сферы. Также и любой отрезок, который соединяет любую точку сферы с ее центром, будет являться радиусом.
Диаметром сферы называется отрезок, который соединяет две точки сферы и проходит через ее центр. Понятно, что диаметр сферы в два раза больше ее радиуса, т.е. равен $2 R$.
Шар – тело, ограниченное сферой.
Рис. 2. Шар
Центр, радиус и диаметр сферы также будут центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, что шар радиуса $R$ с центром $O$ содержит все точки пространства, расположенные от точки $O$ на расстоянии, не превышающем $R$ (включая и саму точку $O$), и не содержит других точек.
Шар получается при вращении полукруга или круга вокруг его диаметра $A B$ как оси (рис. 2).
Заметим, что в отличие от всяких других круглых тел шар имеет не одну, а бесчисленное множество осей. Любой диаметр может служить осью шара. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Любое сечение шара плоскостью будет являться кругом. Если секущая плоскость проходит через центр, в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом. Круг, плоскость которого не проходит через центр шара, называется малым кругом. Например, меридианы земного шара – это большие круги, а параллели (кроме экватора) – это малые круги. Экватор будет большим кругом.
Поверхность шара, даже если ее разрезать на части, нельзя развернуть на плоскости и представить в виде плоской фигуры. Поэтому для сферы не пригоден способ вычисления площади с помощью развёртки.
Площадь сферической поверхности шара ровно в четыре раза больше площади его большого круга. Т.е.
$S = 4 \pi R^{2}$.
Объем шара радиуса $R$ находится по формуле:
$V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
Доказательство этих формул будет рассмотрено в курсе стереометрии 11 класса.
Пример 1
Найдите площадь сферы, диаметр которой равен 12 см ($\pi = 3,14$).
Решение
Сначала найдем радиус, как половину диаметра:
$R = 12 : 2 = 6$ см.
Найдем площадь сферы по формуле:
$S = 4 \pi R^{2}$
$S = 4 \cdot 3,14 \cdot 6^{2} = 452,16$ см2.
Ответ: 452,16 см2.
Пример 2
Найдите объем шара, диаметр которого равен 18 см ($\pi = 3,14$).
Решение
Сначала найдем радиус, как половину длины диаметра:
$R = 18 : 2 = 9$ см.
Найдем объем шара по формуле $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$:
$V = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 9^{3} = 3052,08$ см3.
Ответ: 3052,08 см3.
Пример 3
Отношение объемов двух шаров равно 27. Найдите, как относятся площади их поверхностей.
Решение
Составим отношение объемов двух шаров:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}} = 27$.
Отсюда $\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}} = 27$, тогда $\frac{R_{1}}{R_{2}} = 3$.
$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{4 \pi R_{1}^{2}}{4 \pi R_{2}^{2}} = \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}} = \left( \frac{R_{1}}{R_{2}} \right)^{2} = 3^{2} = 9$.
Ответ: 9.
Упражнение 1
1. Найдите площадь сферы, диаметр которой равен 8 см ($\pi = 3,14$).
2. Найдите объем шара, диаметр которого равен 15 см ($\pi = 3,14$).
3. Отношение объемов двух шаров равно 8. Найдите, как относятся площади их поверхностей.
Контрольные вопросы
1. Что называется сферой?
2. Какое геометрическое тело называется шаром?
3. Что такое центр, радиус и диаметр сферы?
4. По какой формуле вычисляется площадь сферы?
5. По какой формуле вычисляется объем шара?
Упражнение 1
1. 200,96 см2. 2. 1766,25 см3. 3. 4
