Конспект урока: Цилиндр

Тела и поверхности вращения. Цилиндр

Тело, образуемое вращением какой-нибудь плоской фигуры около неподвижной прямой линии, называется телом вращения.  Неподвижная прямая называется осью вращения.

Вырежем из картона прямоугольник и насадим его на ось и будем очень быстро вращать вокруг этой оси. Наш глаз примерно в течении  $\frac{1}{16}$ секунды удерживает зрительное впечатление. Поэтому, если прямоугольник будет делать 15-20 оборотов в секунду, мы перестанем различать отдельные его положения, а увидим сплошное круглое тело.

Рис. 1. Цилиндр

На рисунке 1 цилиндр, полученный вращением прямоугольника $A A_{1} O_{1} O$ вокруг одной из его сторон $O O_{1}$ или прямоугольника $A A_{1} B_{1} B$ вокруг прямой $O O_{1}$, которая проходит через серединные точки противолежащих сторон.

 

Прямая $O O_{1}$ называется осью цилиндра, отрезки $A A_{1}$ и $B B_{1}$ – образующие цилиндра. В качестве высоты цилиндра можно выбрать любой из отрезков $A A_{1} = B B_{1} = O O_{1}$. Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, которые образовались при вращении, называют основаниями цилиндра. Радиус цилиндра – это радиус его основания $R = O A = O B$.

При вращении стороны $A A_{1}$, образуется поверхность, состоящая из множества отрезков (образующих цилиндра), параллельных оси цилиндра. Ее называют цилиндрической или боковой поверхностью.

Таким образом, цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник $A A_{1} B_{1} B$ (рис. 1).

Тела, имеющие форму цилиндра, встречаются довольно часто. Оси колес, стержни, валы, колонны, столбы, обтесанные бревна и многие другие предметы имеют форму цилиндра. Например, трубы, банки, стаканы, ведра имеют форму цилиндра, пустого внутри.

Так как основанием цилиндра является круг, а его площадь равна $πR^{2}$, то объем цилиндра также можно вычислить по формуле:

$V = πR^{2} h$.

Решение

Сначала найдем радиус основания, как половину диаметра:

$R = 12 \div 2 = 6$ см.

Найдем объем цилиндра по формуле $V = πR^{2} h$:

$V = 3,14 \cdot 6^{2} \cdot 5 = 565,2$ см³.

Ответ: 565,2 см³.

На рисунке 2 изображен цилиндр. Представьте себе,что его боковую часть разрезали по образующей $A A_{1}$ и развернули таким образом, что получился прямоугольник. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Длина данного прямоугольника равна длине окружности основания, а ширина $A A_{1}$ равна высоте цилиндра. Таким образом, легко получить формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра.

Рис. 2. Развёртка боковой поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности прямого цилиндра состоит из двух равных площадей оснований и площади боковой поверхности. Таким образом:

$S = S_{\text{бок}} + 2 S_{\text{осн}} = 2 πRh + 2 πR^{2}$.

Решение

Радиус $R$ основания цилиндра $R = O A = O_{1} A_{1} = 3$ см, $O O_{1}$ будет являться высотой, т.е. $h = O O_{1} = 6$ см.

Найдем площадь боковой поверхности по формуле:

$S_{\text{бок}} = 2 πRh$

$S_{\text{бок}} = 2 \cdot 3,14 \cdot 3 \cdot 6 = 113,04$ см²

2. Найдем объем по формуле:

$V = πR^{2} h$

$V = 3,14 \cdot 3^{2} \cdot 6 = 169,56$ см³

Ответ: 113,04 см², 169,56 см³.