- Уравнение линии на плоскости
- Уравнение прямой
- Знать, какое уравнение называется уравнением данной линии в заданной прямоугольной системе координат
- Уметь выводить уравнение прямой
- Знать и объяснять, что такое угловой коэффициент прямой и как, сравнивая угловые коэффициенты двух прямых, сделать вывод об их взаимном расположении (параллельны или пересекаются)
- Уметь строить прямые с заданными уравнениями, используя при этом опыт, полученный при изучении курса алгебры
- Что такое радиус-вектор точки?
- Как вычислить координаты вектора по координатам его начала и конца?
- Как вычислить координаты середины отрезка по координатам его начала и конца?
- Как найти длину вектора по его координатам?
- Как вычислить расстояние между двумя точками по их координатам?
Уравнение линии на плоскости
y = x" loading="lazy" />
Рис. 1. График линейной функции y = x
На уроках алгебры мы с вами уже знакомились с графиками некоторых функций. Рассмотрим отдельно график линейной функции $y = x$ (рис. 1). Если возьмем произвольные точки на этом графике, например, $N_{1} ( x_{1} ; y_{1} )$ и $N_{2} ( x_{2} ; y_{2} )$, то координаты этих точек будут удовлетворять следующему условию: $x = y$. Это же условие будет выполняться для любой точки, лежащей на этой прямой. Но, если мы возьмем любую точку вне этого графика, например, $A ( x_{3} ; y_{3} )$, то координаты этой точки не будут удовлетворять условию: $x = y$. В таких случаях говорят, что уравнение
$y = x$ является уравнением прямой $N_{1} N_{2}$.
L " loading="lazy" />
Рис. 2. График линии L
Теперь введём понятие уравнения для произвольной линии. Пусть в декартовой системе координат дана произвольная линия $L$ (рис. 2).
Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии $L$ и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
y = x2" loading="lazy" />
Рис. 3. Парабола y = x2
Например, уравнением параболы, которая изображена на рисунке 3 будет уравнение $y = x^{2}$. Для того, чтобы в этом убедиться, возьмем две точки: одну на параболе $M ( - 3 ; 9 )$, вторую — вне параболы $N ( 3 ; 3 )$. Подставив координаты обеих точек в уравнение $y = x^{2}$ увидим, что координаты точки, лежащей на параболе, удовлетворяют нашему уравнению, а координаты точки, которая не лежит на параболе — не удовлетворяют. Очевидно, что координаты всех точек, которые лежат на параболе, будут удовлетворять этому уравнению.
Уравнение прямой
x = 3" loading="lazy" />
Рис. 4. Уравнение прямой x = 3
В координатной плоскости прямая может располагаться либо вертикально (параллельно оси $O y$), либо горизонтально (параллельно оси $O x$), либо быть наклонной к обеим осям.
Первым рассмотрим случай, когда прямая параллельна оси $O y$. Возьмем на оси $O x$, например, точку с координатой $3$ и проведем через эту точку прямую, параллельную оси $O y$ (рис. 4). Абсцисса любой точки этой прямой равна $3$. То есть координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению $x = 3$, а координаты любой точки, которая не лежит на данной прямой не удовлетворяют данному уравнению. Значит, уравнение $x = 3$ является уравнением прямой, параллельной оси $O y$ и проходящей через точку с координатами $( 3 ; 0 )$.
Можно сказать, что
Произвольная прямая, параллельная оси $O y$, задается уравнением $x = x_{0}$. Уравнение $x = 0$ является уравнением оси $O y$.
Пример 1
Написать уравнения прямых, показанных на рисунке 5.
Решение
Рис. 5. Пример 1
Для того, чтобы написать уравнение каждой прямой, запишем общее уравнение прямых, параллельных оси $O y$: $x = x_{0}$.
Итак, уравнения прямых:
- Фиолетовая прямая $x = - 2$;
- Зелёная прямая $x = 2$;
- Красная прямая $x = 6$.
Ответ: $x = - 2$; $x = 2$; $x = 6$.
Рассмотрим теперь случай, когда прямая параллельна оси $O x$. Возьмем на оси $O y$, например, точку $5$ и проведем через нее прямую, параллельную оси $O x$. Любая точка этой прямой удовлетворяет уравнению $y = 5$, любая точка, которая не лежит на этой прямой не удовлетворяет этому уравнению, значит, эту прямую задает уравнение $y = 5$. (Построение выполняется аналогично рисунку 4).
Можно сказать, что
Произвольная прямая, параллельная оси $O x$, задается уравнением $y = y_{0}$. Уравнение $y = 0$ является уравнением оси $O x$.
l — наклонная" loading="lazy" />
Рис. 6. l — наклонная
Рассмотрим случай, когда прямая наклонная к обеим осям (рис. 6).
1. Отметим на координатной плоскости точки $A ( x_{1} ; y_{1} )$ и $B ( x_{2} ; y_{2} )$ так, чтобы указанная прямая $l$ была серединным перпендикуляром к отрезку $A B$.
2. Теперь возьмем произвольную точку $N ( x ; y )$. Если точка $N$ лежит на прямой $l$, то, очевидно, что длины отрезков $A N$ и $B N$ будут равны. Найдем эти отрезки и приравняем их:
$A N = \sqrt{\left( x - x_{1} \right)^{2} + \left( y - y_{1} \right)^{2}}$;
$B N = \sqrt{\left( x - x_{2} \right)^{2} + \left( y - y_{2} \right)^{2}}$.
Получим уравнение:
$\left( x - x_{1} \right)^{2} + \left( y - y_{1} \right)^{2} = \left( x - x_{2} \right)^{2} + \left( y - y_{2} \right)^{2}$:
Если точка $N$ не лежит на прямой, то, очевидно, что отрезки $A N$ и $B N$ не будут равны и координаты точки $N$ не будут удовлетворять этому уравнению.
3. Раскроем скобки и выполним элементарные преобразования. Введем замену:
$a = 2 ( x_{1} - x_{2} )$;
$b = 2 ( y_{1} - y_{2} )$;
$c = \left(x_{2}\right)^{2} + \left(y_{2}\right)^{2} - \left(x_{1}\right)^{2} - \left(y_{1}\right)^{2}$
4. Получим уравнение $a x + b y + c = 0$.
Так как в самом начале мы говорили, что точки $A$ и $B$ — различные точки, то хотя бы одна из разностей $x_{1} - x_{2}$ и $y_{1} - y_{2}$ не равна нулю, то есть хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ не равен нулю. Таким образом можно сказать, что
Уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени и имеет вид: $a x + b y + c = 0$.
Если в уравнении $a x + b y + c = 0$ коэффициент $\mathbf{\mathit{b}}$ отличен от нуля, то уравнение можно записать:
$y = k x + d$,
где $k = - \frac{a}{b}$; $d = - \frac{c}{b}$. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой, заданной этим уравнением.
Две параллельные прямые, не параллельные оси $O y$, имеют одинаковые угловые коэффициенты.
Если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.
Пример 2
Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $A ( 1 ; - 1 )$ и $B ( - 3 ; 2 )$.
Решение
Уравнение прямой имеет вид $a x + b y + c = 0$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставим их в уравнение, получим систему:
$\begin{cases} a - b + c = 0 , \\ - 3 a + 2 b + c = 0 . \end{cases}$
Выразим из первого уравнения системы $a$, подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$\begin{cases} a = b - c , \\ - 3 b + 3 c + 2 b + c = 0 . \end{cases}$
Откуда
$\begin{cases} a = b - c , \\ - b + 4 c = 0 , \end{cases} \begin{cases} a = 3 c , \\ b = 4 c . \end{cases}$
Подставим выражения для $a$ и $b$ в уравнение прямой и, разделив левую и правую части уравнения на $c ( c \neq 0 )$, получим уравнение прямой, проходящей через заданные точки: $3 x + 4 y + 1 = 0$. Здесь $a = 3$, $b = 4$, $c = 1$.
Так как угловой коэффициент прямой $k$ равен $k = - a b$, то имеем $k = - 0,75$.
Ответ: $- 0,75$.
*Данную задачу можно было решить и подставляя координаты точек $A$ и $B$ в уравнение вида $y = k x + d$.
Упражнение 1
1. Среди предложенных уравнений прямых выберите те, которые задают прямые, параллельные прямой $y = 5 x - 7$:
а) $y = 2 x + 3$; б) $y = 5 x – 3$; в) $y = x – 7$; г) $y = 5 x + 4$.
2. Даны координаты вершин трапеции $A B C D$: $A ( - 2 ; - 2 )$; $B ( - 3 ; 1 )$; $C ( 7 ; 7 )$; $D ( 3 ; 1 )$. Написать уравнения прямых, содержащих диагонали $A C$ и $B D$.
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение называется уравнением данной линии?
2. Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.
3. Что такое угловой коэффициент прямой?
4. Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку и параллельных осям координат.
5. Напишите уравнения осей координат.
Упражнение 1
1. б) $y = 5 x – 3$ и г) $y = 5 x + 4$.
2. $A C$: $y = x$; $B D$: $y = 1$.
