Конспект урока: Сложение и вычитание векторов

Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Пусть некоторый объект сначала находился в точке A, а потом переместился в точку В. Тогда его перемещение удобно обозначить с помощью вектора $\overrightarrow{AB}$. Далее пусть этот объект из точки B переместился в другую точку C. С одной точки зрения, объект совершил сразу два перемещения, из A в B и из B в C, которые можно представить векторами: $\overrightarrow{АВ}$ и $\overrightarrow{ВС}$. Но также можно считать, что в итоге совершено одно перемещение, из А в С, которому соответствует вектор $\overrightarrow{АС}$ (рис. 1).

Тогда логично записать, что $\overrightarrow{АС} = \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}$

Этот пример подсказывает нам универсальное правило, с помощью которого можно складывать векторы.

Его называют правилом треугольника.

С помощью правила треугольника удобно складывать векторы, если конец одного из них совпадает с началом другого. Но что делать, если это не так? В этом случае достаточно от конца одного вектора отложить вектор, равный второму (рис. 2). 

Сумма векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ обозначается так: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

1. Перенесем начало вектора $\overrightarrow{b}$ к концу вектора $\overrightarrow{a}$. 

2. По правилу треугольника найдём сумму $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, обозначим полученный вектор $\overrightarrow{c}$ (рис. 4).

3. Найдём длину получившегося вектора: c — гипотенуза в прямоугольном треугольнике, длины катетов в этом треугольнике составляют 3 и 4. 

Тогда по теореме Пифагора:

${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2 = {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2 + {\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$

${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2 = 4^2 + 3^2$

${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2 = 25$

$\left|\overrightarrow{c}\right| = 5$

 

Ответ: 5.

Отдельно рассмотрим случаи, когда складываются коллинеарные векторы. В таком случае получающаяся сумма окажется коллинеарной каждому слагаемому.

Если векторы сонаправлены, то длина итогового вектора окажется равной сумме длин складываемых векторов (рис. 5).

Если складываются противоположно направленные векторы, то длина их суммы окажется разностью длин складываемых векторов (рис. 6). 

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор $\overrightarrow{a}$ с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора $\overrightarrow{a}$ справедливо равенство $\overrightarrow{а} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{а}$.

 

Правило треугольника можно сформулировать и следующим образом: если $A$, $B$ и $C$ – произвольные точки, то 

 

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. 

 

Это равенство справедливо и в случае, если две из них или даже три совпадают

Во всех случаях итоговая скорость судна является векторной суммой собственной скорости лодки и течения реки. Однако направления этих векторов различны. Найдем решение графически. Пусть $\overrightarrow{{\vartheta }_1}$ – скорость лодки, $\overrightarrow{{\vartheta }_2}$ – скорость течения реки.  Длина одной клетки – 1 км/ч.

1. В первом случае векторы по условию сонаправлены: приложив другу к другу отрезки длиной 8 и 2, получим отрезок длиной 10. Это значит, что в первом случае скорость лодки относительно берега составит 10 км/ч (рис. 7).

2. Во втором случае векторы уже окажутся противоположно направленными. Отрезок, соответствующий итоговой скорости, здесь уже равен 6 клеткам, значит, итоговая скорость составляет 6 км/ч (рис. 8). 

 

Ответ: а) 10 км/ч; б) 6 км/ч.

Итак, $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Убедиться в этом можно, построив параллелограмм, сторонами которого являются складываемые векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 9). Видно, что по правилу треугольника  диагональ параллелограмма является суммой векторов, которые соответствуют нижней и крайней правой его стороне. Стороны обозначены как векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, причем в данном случае к  $\overrightarrow{a}$ прибавляется $\overrightarrow{b}$. 

Но также полученная диагональ – это сумма векторов, которые соответствуют крайней левой и его верхней стороне. Знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому они и обозначены тоже векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ соответственно. В этом случае уже к $\overrightarrow{b}$ прибавляется $\overrightarrow{a}$. Результат при этом получается одинаковый, поэтому можно записать, что $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$.

2⁰. $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) +\hspace{0.17em}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\hspace{0.17em}+ (\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}).$ 

Убедиться в этом можно с помощью построения, используя правило треугольника. Рассмотрим рисунок 10. Здесь оранжевый вектор – это сумма красного вектора $\overrightarrow{a}$ и синего вектора $\overrightarrow{b}$. 

Если к оранжевому вектору добавить зеленый $\overrightarrow{c}$, то получится фиолетовый вектор, который, таким образом, является суммой $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) +\hspace{0.17em}\overrightarrow{c}$. 

Голубой вектор – это сумма синего и зеленого векторов, т.е. $\overrightarrow{b} +\hspace{0.17em}\overrightarrow{c}$. Видно, что фиолетовый вектор представляет собой сумму красного и голубого векторов, то есть он представляет сумму $\overrightarrow{a}\hspace{0.17em}+ (\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c})$. Таким образом, мы доказали, что $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) +\hspace{0.17em}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\hspace{0.17em}+ (\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c})$.

Ответы