Конспект урока: Простейшие задачи в координатах

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах

Сегодня мы ответим на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?». Но для начала вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат. Найдем координаты точки N (рис. 1).

1. Опустим перпендикуляры из данной точки к осям координат.

2. Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как N₁ и N₂.

3. Абсциссой точки N является число x, которое является длиной отрезка ОN₁. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка ОN₂. N(x, y), 

x = ОN₁, y = ОN₂ (рис. 2).

Решение

 

$A ( 6 ; 6 ) ,$

$B ( 9 ; - 6 ) ,$

$C ( - 8 ; 0 ) ,$

$D ( - 1 ; - 7 ) ,$

$E ( 0 ; 5 ) ,$

$F ( - 7 ; 6 )$

Рассмотрим рисунок 4. Для точки A радиус-вектором будет вектор $\overrightarrow{O A}$, для точки B — вектор $\overrightarrow{O B}$, для точки C — $\overrightarrow{O C}$, для точки D — $\overrightarrow{O D}$, радиус-вектором точки E является вектор $\overrightarrow{O E}$, а радиус-вектором точки F — вектор $\overrightarrow{O F}$. 

 

Докажем следующее утверждение: 

Доказательство

 

По правилу параллелограмма $\overrightarrow{O N} = \overrightarrow{O N} _{1} + \overrightarrow{O N} _{2} .$

Докажем, что вектор  $\overrightarrow{O N} _{1} = x \overrightarrow{i}$, а вектор  $\overrightarrow{O N} _{2} = y \overrightarrow{j}$. Тем самым мы докажем, что вектор $\overrightarrow{O N} \left\{\right. x ; y \left.\right\} .$

Если $x > 0$ (рис. 2), то $O N _{1} = x$. Так как  $\overrightarrow{O N} _{1}$ и  $\overrightarrow{i}$ сонаправлены, то $\overrightarrow{O N} _{1} = O N _{1} \overrightarrow{i} = x \overrightarrow{i} .$

Если $x < 0$ (рис. 5), то $- O N _{1} = x ,$ и векторы $\overrightarrow{O N} _{1}$ и $\overrightarrow{i}$ противоположно направлены, следовательно, $\overrightarrow{O N} _{1} = - O N _{1} \overrightarrow{i} = x \overrightarrow{i} .$

Если $x = 0$ (рис. 6), то  $O N _{1} = 0 , \overrightarrow{O N} _{1} = \overrightarrow{0} ,$ следовательно, $\overrightarrow{O N} _{1} = 0 \overrightarrow{i} = x \overrightarrow{i} .$

Вернёмся к рисункам 3 и 4: можем сказать, что координаты точки $A ( 6 ; 6 )$ равны соответствующим координатам радиус-вектора $\overrightarrow{O A}$. Значит, вектор $\overrightarrow{O A} \left\{\right. 6 ; 6 \left.\right\}$  Аналогично, вектор  $\overrightarrow{O B} \left\{\right. 9 ; - 6 \left.\right\}$, $\overrightarrow{O C} \left\{\right. - 8 ; 0 \left.\right\}$, $\overrightarrow{O D} \left\{\right. - 1 ; - 7 \left.\right\}$, $\overrightarrow{O E} \left\{\right. 0 ; 5 \left.\right\}$, $\overrightarrow{O F} \left\{\right. - 7 ; 6 \left.\right\}$.

 

Обратите внимание, что координаты точек помогают определить их расположение в пределах координатной плоскости, а вот координаты векторов указывают на перемещение относительно осей x и y. Если взять две несовпадающие точки, то они однозначно имеют различные координаты в отличие от двух несовпадающих векторов (рис. 7).

Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора $\overrightarrow{A B}$ через координаты его начала и конца. Пусть точка A имеет координаты (x₁; y₁), а точка B имеет координаты (x₂; y₂). Вектор $\overrightarrow{A B} = \overrightarrow{O B} - \overrightarrow{O A}$ (рис. 8). А они в свою очередь являются радиус-векторами точек B и A соответственно. А это значит, что координаты вектора $\overrightarrow{O B} \left\{\right. x_{2} ; y_{2} \left.\right\}$, а координаты вектора $\overrightarrow{O A} \left\{\right. x_{1} ; y_{1} \left.\right\}$.

Можем найти координаты вектора разности: $\overrightarrow{O B} - \overrightarrow{O A} \left\{\right. x_{2} - x_{1} ; y_{2} - y_{1} \left.\right\}$, $\overrightarrow{A B} \left\{\right. x_{2} - x_{1} ; y_{2} - y_{1} \left.\right\}$. Понятно, что эти значения и будут координатами вектора $\overrightarrow{A B} .$ Так мы доказали, что

Решение

 

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. От начала координат отложим вектор $\overrightarrow{O A}$ равный вектору $\overrightarrow{a}$ 

(рис. 11). 

Проведём перпендикуляры АА₁ и АА₂ к осям координат.

Если точка A имеет координаты (x; y), то и её радиус-вектор $\overrightarrow{O A}$ имеет такие же координаты. При этом координаты вектора $\overrightarrow{a}$ также равны (x; y), так как $\overrightarrow{O A} = \overrightarrow{a} .$

Итак, можно сказать, что длина отрезка OА₁ = |x|, а длина отрезка А₁А = OА₂ = |y|.

Длину отрезка ОА можем выразить из прямоугольного треугольника ОА₁А:

ОA² = OА₁² + А₁А²;

$O A = \sqrt{O \left(A_{1}\right)^{2} + A_{1} A^{2}}$;

$O A = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

Из того, что $\overrightarrow{O A} = \overrightarrow{a}$ следует, что $\overrightarrow{| O A |} = \overrightarrow{| a |}$. Таким образом, $O A = \overrightarrow{| a |} \\$

Получаем, что $| \overrightarrow{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$, причём от какой бы точки вектор не был бы отложен.

 

Ответ: $| \overrightarrow{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Решение

 

Пусть точка N₁ (x_1; y₁), а точка N₂ (x_2; y₂).

Выразим расстояние d между этими точками через их координаты (рис. 12).

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{N _{1} N _{2}} \left\{\right. x_{2} - x_{1} ; y_{2} - y_{1} \left.\right\}$. Длина этого вектора может быть найдена по формуле:

$| \overrightarrow{N _{1} N _{2}} | = \sqrt{\left( x _{2} - x _{1} \right)^{2} + \left( y _{2} - y _{1} \right)^{2}} .$

 

Так как $| \overrightarrow{N _{1} N _{2}} | = d ,$то расстояние между точками N₁ (x_1; y₁) и N₂ (x_2; y₂) можно найти по формуле  $d = \sqrt{\left( x _{2} - x _{1} \right)^{2} + \left( y _{2} - y _{1} \right)^{2}} .$

 

Ответ: $d = \sqrt{\left( x _{2} - x _{1} \right)^{2} + \left( y _{2} - y _{1} \right)^{2}} .$

Доказательство

 

Рассмотрим треугольник ABC, 

где ∠ C = 90° (рис. 13).

Обозначим буквой M середину гипотенузы AB.

Введем систему координат с началом в точке C (рис. 13): 

A (0; b), B (a; 0), C (0; 0).

По формулам координат середины отрезка найдём координаты точки $M :$ $M ( \frac{a}{2} ; \frac{b}{2} ) .$

По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков MC и MA:

$M C = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( \frac{b}{2} \right)^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}} ;$

$M A = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( \frac{b}{2} - b \right)^{2}} =$

$= \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}} ;$

Таким образом, MC = MA = MB.

Доказательство

 

Построим параллелограмм ABCD в прямоугольной системе координат с началом в вершине A (0; 0) (рис. 14).

AD = BC = a, вершина B (b; c), точка D (a; 0), а C (a + b; c) 

По формуле расстояния между двумя точками:

 

AB² = b² + c², AD² = a², AC² = (a + b)²+c², BD² = (a - b)² + c².

 

Получаем: 

 

AB² + BC² + СD² + DA² = 2(AB² + AD²) =  2(a² + b²+c²).

 

AC² + BD² = (a + b)²+c² + (a - b)² + c² = 2(a² + b²+c²).

 

Таким образом, AB² + BC² + СD² + DA² = AC² + BD², что и требовалось доказать.

3. Вычислите длины векторов по их координатам, если $\overrightarrow{a} \left\{\right. 0 ; 0 \left.\right\}$ и $\overrightarrow{b} \left\{\right. 15 ; 20 \left.\right\}$

 

4. На оси Ox и на оси Oy найти точки, равноудалённые от точек A(1; 2) и B(-3;4) (рис. 15).

Ответы