- Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
- Координаты вектора
- Знать понятие координатные векторы, чему равны координаты координатных векторов, лемму о коллинеарных векторах, утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам, правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
- Уметь доказывать: лемму о коллинеарных векторах, теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам, утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам, правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
- Уметь объяснять, что значит разложить вектор по двум данным векторам, как связаны между собой координаты равных векторов.
- Уметь находить координаты вектора, применяя правила нахождения координат суммы и разности векторов, координат произведения вектора на число.
- Какой вектор называется произведением данного вектора на число?
- Чему равно произведение $k \overrightarrow{a}$, если: $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$, $k = 0$?
- Могут ли векторы $\overrightarrow{a}$ и $k \overrightarrow{a}$ быть неколлинеарными?
- Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Вспомним, что при умножении вектора на число $k$ мы получаем два коллинеарных вектора, которые либо сонаправлены, если $k \geq 0$, либо противоположно направлены, если $k < 0$. Длины векторов различаются в $k$ раз.
Справедливо и обратное суждение, которое отражено в лемме (лемма – вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема или несколько теорем):
Лемма
Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны и $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$, то существует такое число $k$ что $\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}$.
Доказательство
Рис. 1
Рассмотрим коллинеарные векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b} .$Существует два случая: $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ либо сонаправлены, либо противоположно направлены.
1) $\overrightarrow{a} \uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$. Возьмём число $k$, равное отношению длин векторов
$k = \frac{| \overrightarrow{b} |}{| \overrightarrow{a} |}$. Так как $k \geq 0$, то $k \overrightarrow{a} \uparrow \uparrow \overrightarrow{a}$,
следовательно, $k \overrightarrow{a} \uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$ и их длины равны: $| k \overrightarrow{a} | = | k | \cdot | \overrightarrow{a} | = \frac{| \overrightarrow{b} |}{| \overrightarrow{a} |} \cdot | \overrightarrow{a} | = | \overrightarrow{b} |$ (рис. 1). Таким образом, $\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}$.
Рис. 2
2) $\overrightarrow{a} \overset{}{\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}}$. Возьмём число $k$, равное $- \frac{| \overrightarrow{b} |}{| \overrightarrow{a} |}$. Так как $k < 0$, то $k \overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}$, но $k \overrightarrow{a} \uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$и их длины равны: $| k \overrightarrow{a} | = | k | \cdot | \overrightarrow{a} | = \frac{| \overrightarrow{b} |}{| \overrightarrow{a} |} \cdot | \overrightarrow{a} | = | \overrightarrow{b} |$
(рис. 2). Таким образом, $\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a} .$ Лемма доказана.
Рис. 3. Пример 1
Пример 1
Выразить коллинеарные векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b} ,$ $\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{m}$ через коллинеарный им вектор $\overrightarrow{i}$ (рис. 3).
Решение
Рис. 4. Пример 1. Решение
1. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{i}$: $\overrightarrow{a} \uparrow \uparrow \overrightarrow{i}$. Значит, $k \geq 0$. Взяв длину вектора $\overrightarrow{i}$ за единицу (рис. 4), видим, что длина вектора $\overrightarrow{a}$ в 3 раза больше, т.е. $\overrightarrow{a} = 3 \cdot \overrightarrow{i} .$
2. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{i}$: $\overrightarrow{b} \uparrow \uparrow \overrightarrow{i} .$Значит, $k \geq 0$. При этом длина вектора $\overrightarrow{b}$ в 6,5 раз больше длины вектора $\overrightarrow{i}$, т.е. $\overrightarrow{b} = 6,5 \cdot \overrightarrow{i} .$
3. Рассмотрим вектор $\overrightarrow{c}$. Он противоположно направлен вектору $\overrightarrow{i}$. Поэтому $k < 0$. К тому же длина вектора $\overrightarrow{c}$ в 5,5 раз больше длины вектора $\overrightarrow{i}$. Значит, $\overrightarrow{c} = - 5,5 \cdot \overrightarrow{i}$
4. Рассмотрим вектор $\overrightarrow{m}$: $\overrightarrow{m}$ – нулевой вектор. Нам известно, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. И его длина равна нулю. Таким образом, вектор $\overrightarrow{m} = 0 \cdot \overrightarrow{i}$.
Ответ: $\overrightarrow{a} = 3 \cdot \overrightarrow{i}$; $\overrightarrow{b} = 6,5 \cdot \overrightarrow{i}$; $\overrightarrow{c} = - 5,5 \cdot \overrightarrow{i}$; $\overrightarrow{m} = 0 \cdot \overrightarrow{i}$.
Вспомним правило параллелограмма сложения двух векторов. Если векторы-слагаемые $\overrightarrow{A B}$ и $\overrightarrow{A D}$ отложены от одной точки, то, построив на них параллелограмм $A B C D$, мы получим вектор $\overrightarrow{A C}$ – их сумму. Обозначим вектор $\overrightarrow{A C}$ как вектор $\overrightarrow{c}$. Тогда, $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{A B}$ + $\overrightarrow{A D}$. В свою очередь вектор $\overrightarrow{A B}$ всегда можно выразить как произведение коллинеарного ему вектора $\overrightarrow{a}$ на некоторое число $x ,$ а вектор $\overrightarrow{A D}$ – как произведение коллинеарного ему вектора $\overrightarrow{b}$ на некоторое число $y$. Тогда можно записать, что $\overrightarrow{c} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b}$. В таком случае говорят, что вектор $\overrightarrow{c}$ разложен по неколлинеарным векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, а числа $x$ и $y$называются коэффициентами разложения.
Теорема
На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Рис. 5
Доказательство
Пусть данными векторами будут неколлинеарные векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 5). Докажем, что любой вектор $\overrightarrow{c}$ можно разложить по данным векторам.
1. Пусть $\overrightarrow{c} | | \overrightarrow{b}$. Тогда по лемме о двух коллинеарных векторах получаем, что вектор $\overrightarrow{c} = y \overrightarrow{b}$, где $y$ – некоторое число. Также можно записать его разложение в виде $\overrightarrow{c} = 0 \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b}$. Коэффициент разложения при векторе $\overrightarrow{a}$ равен нулю, таким образом, вектор $\overrightarrow{c}$ разложен по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.
Рис. 6
2. Пусть$\overrightarrow{c } \cancel{| |} \overrightarrow{ a} \cancel{| |} \overrightarrow{b}$ (рис. 6): отметим некоторую точку $O$ и отложим от неё векторы $\overrightarrow{O A}$, $\overrightarrow{O B}$ и $\overrightarrow{O C}$ равные векторам $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ соответственно. Через точку $C$ проведём прямую, параллельную прямой $O B$. Точку пересечения полученной прямой с $O A$ обозначим как $A_{1}$.
По правилу треугольника вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{O A} _{1} + \overrightarrow{A _{1} C}$. Вектор $\overrightarrow{O A _{1}}$ коллинеарен вектору $\overrightarrow{a}$, вектор $\overrightarrow{A _{1} C}$ коллинеарен вектору $\overrightarrow{b}$. Это значит, что вектор $\overrightarrow{O A} _{1} = x \overrightarrow{a}$, а вектор $\overrightarrow{A _{1} C} = y \overrightarrow{b}$. Отсюда получаем, что вектор $\overrightarrow{c} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b} .$ Тем самым мы разложили его по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.
Первая часть теоремы доказана. Действительно, на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.
Теперь докажем, что коэффициенты разложения $x$ и $y$ определяются единственным способом.
Допустим, что кроме разложения $\overrightarrow{c} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b}$ возможно другое разложение, $\overrightarrow{c} = x_{1} \overrightarrow{a} + y_{1} \overrightarrow{b}$. Вычтем второе равенство из первого. Получаем, что нулевой вектор можно разложить по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, при этом коэффициенты разложения равны $x - x_{1}$ и $y - y_{1}$, т. е. $\overrightarrow{0} = ( x - x_{1} ) \overrightarrow{a} + ( y - y_{1} ) \overrightarrow{b}$. Такое возможно только в том случае, если данные коэффициенты разложения равны нулю. Тогда $x = x_{1}$ и $y = y_{1}$. Значит, коэффициенты разложения определяются единственным способом.
Пример 2
Рис. 7. Пример 2
Разложите вектор $\overrightarrow{c}$ по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 7).
Решение
Все векторы отложены от точки O. При этом векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ равны векторам $\overrightarrow{O A}$, $\overrightarrow{O B}$ и $\overrightarrow{O C}$ соответственно.
Через точку C проведём прямую, параллельную OB. И точку пересечения этой прямой с ОА назовём A1.
По правилу треугольника вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{O A_{1}} + \overrightarrow{A_{1} C}$. Вектор $\overrightarrow{O A_{1}} | | \overrightarrow{a}$, тогда его можно выразить $\overrightarrow{O A_{1}} = 3 \overrightarrow{a} .$
Аналогично, выразим $\overrightarrow{A_{1} C}$: $\overrightarrow{A_{1} C} \parallel \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{A_{1} C} = 5 \overrightarrow{b}$.
Тогда разложение вектора $\overrightarrow{c}$ по векторам$\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$: $\overrightarrow{c} = 3 \overrightarrow{a} + 5 \overrightarrow{b} .$
Ответ: $\overrightarrow{c} = 3 \overrightarrow{a} + 5 \overrightarrow{b} .$
Пример 3
Рис. 8. Пример 3
Разложите по двум векторам $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ вектор $\overrightarrow{k}$, изображённый в координатной плоскости (рис. 8).
Решение
Рис. 9. Пример 3. Решение
Итак, рассмотрим $\overrightarrow{k}$. Восстановим для него правило треугольника сложения двух векторов так, чтобы вектор $\overrightarrow{k}$ являлся вектором суммы, а векторы-слагаемые $\overrightarrow{k} _{1}$ и $\overrightarrow{k} _{2}$ были коллинеарны векторам $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$соответственно.
Таким образом, $\overrightarrow{k} _{1}$ = $4 \overrightarrow{i}$, а $\overrightarrow{k} _{2}$ = $7 \overrightarrow{j}$. Поэтому $\overrightarrow{k}$ = $4 \overrightarrow{i}$ + $7 \overrightarrow{j}$.
Ответ: $\overrightarrow{k} = 4 \overrightarrow{i} + 7 \overrightarrow{j}$
Координаты вектора
Рис. 10. Прямоугольная система координат
Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси $x$ и $y$, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты, например (рис. 10) точка $N ( x_{0} ; y_{0} )$. Используя эти координаты, можно свести решение многих геометрических задач к работе с чисто алгебраическими уравнениями. Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и векторы.
Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направления которых совпадают с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси $x$, обозначим буквой $\overrightarrow{i}$, а тот, который лежит на оси $y$, обозначим как $\overrightarrow{j}$.
Векторы $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ называют координатными векторами.
Рис. 11
Понятно, что любой вектор $\overrightarrow{c}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$. Причём коэффициенты разложения, числа $x$ и $y$, определяются единственным образом (рис. 11), т.е. $\overrightarrow{c} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$.
Коэффициенты разложения вектора $\overrightarrow{c}$ по координатным векторам называют координатами вектора $\overrightarrow{c}$ в данной системе координат.
Координаты вектора записывают в фигурных скобках через точку с запятой. При этом первым будем записывать коэффициент разложения $x$, а вторым — $y$: $\overrightarrow{c} \left\{\right. x ; y \left.\right\}$.
В Примере 3 мы раскладывали вектор $\overrightarrow{k}$ по двум векторам $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ (рис. 8). Итак, вектор $\overrightarrow{k} = 4 \overrightarrow{i} + 7 \overrightarrow{j}$, следовательно, его координаты $\overrightarrow{k} \left\{\right. 4 ; 7 \left.\right\}$.
Коэффициенты разложения нулевого вектора по векторам $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ равны нулю. Тогда получаем, что
Нулевой вектор имеет координаты $\left\{\right. 0 ; 0 \left.\right\}$, причём в любой системе координат и при любых координатных векторах.
Если векторы равны, то их разложения по векторам $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения. Таким образом, получаем, что
Координаты равных векторов соответственно равны.
Рассмотрим ещё один особенный случай — противоположные векторы. Их разложения противоположны. Значит, противоположны будут и соответственные координаты.
Пользуясь приобретёнными знаниями о координатах вектора, получим правила нахождения координат векторов с помощью уже известных действий: сложения, вычитания и умножения вектора на число.
10. Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Доказательство
Рассмотрим сумму двух векторов $\overrightarrow{a} \left\{\right. x_{1} ; y_{1} \left.\right\}$ и $\overrightarrow{b} \left\{\right. x_{2} ; y_{2} \left.\right\}$
Пользуясь их координатами, запишем разложение данных векторов по координатным векторам: $\overrightarrow{a} = x_{1} \overrightarrow{i} + y_{1} \overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{b} = x_{2} \overrightarrow{i} + y_{2} \overrightarrow{j}$.
Сложим полученные равенства, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( x_{1} + x_{2} ) \overrightarrow{i} + ( y_{1} + y_{2} ) \overrightarrow{j}$.
Координаты вектора суммы векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $\left\{\right. x_{1} + x_{2} ; y_{1} + y_{2} \left.\right\}$.
20. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Если $\overrightarrow{a} \left\{\right. x_{1} ; y_{1} \left.\right\}$ и $\overrightarrow{b} \left\{\right. x_{2} ; y_{2} \left.\right\}$ – данные векторы, то $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ имеет координаты $\left\{\right. x_{1} – x_{2} ; y_{1} – y_{2} \left.\right\}$. Доказывается аналогично 10 свойству.
30. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Доказательство
Пусть вектор $\overrightarrow{a}$ имеет координаты $\left\{\right. x ; y \left.\right\}$
Найдём координаты вектора $k \overrightarrow{a}$, где $k$ – произвольное число
Разложим вектор $\overrightarrow{a}$ через векторы $\overrightarrow{i}$ и$\overrightarrow{j}$: $\overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$.
Тогда $k \overrightarrow{a} = k x \overrightarrow{i} + k y \overrightarrow{j}$.
Таким образом, координаты вектора $k \overrightarrow{a}$ $\left\{\right. k x ; k y \left.\right\}$
Все три правила в дальнейшем помогут определять координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.
Пример 4
Найти координаты вектора $\overrightarrow{e} = 5 \overrightarrow{b} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{c}$, если $\overrightarrow{a } \left\{\right. 0 ; 6 \left.\right\}$, $\overrightarrow{b} \left\{\right. - 3 ; 8 \left.\right\}$, $\overrightarrow{c} \left\{\right. 1 ; 4 \left.\right\}$, $\overrightarrow{d} \left\{\right. - 2 ; 7 \left.\right\}$.
Решение
Представим это выражение в виде суммы. Рассмотрим отдельно каждое слагаемое:
1. Вектор $5 \overrightarrow{b}$ имеет координаты $\left\{\right. - 3 \cdot 5 ; 8 \cdot 5 \left.\right\}$ или $\left\{\right. - 15 ; 40 \left.\right\}$.
2. Вектор $( - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} )$ имеет координаты $\left\{\right. 0 \cdot ( - \frac{1}{2} \left.\right\} ; 6 \cdot ( - \frac{1}{2} ) )$, $\left\{\right. 0 ; - 3 \left.\right\}$.
3. Координаты вектора $\overrightarrow{d} \left\{\right. - 2 ; 7 \left.\right\}$.
4. Координаты вектора $- \overrightarrow{c} \left\{\right. - 1 ; - 4 \left.\right\}$.
5. Координаты вектора $\overrightarrow{e}$ найдём как суммы соответствующих координат полученных векторов. В результате получаем, что $\overrightarrow{e}$ имеет координаты $\overrightarrow{e} \left\{\right. - 18 ; 40 \left.\right\}$.
Ответ: $\overrightarrow{e} \left\{\right. - 18 ; 40 \left.\right\}$.
Упражнение 1
1. Выразите коллинеарные векторы $\overrightarrow{d}$ и $\overrightarrow{e}$ через коллинеарный им вектор $\overrightarrow{i}$ (рис. 3).
2. Разложите по двум векторам $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ векторы $\overrightarrow{m}$, $\overrightarrow{n}$, и $\overrightarrow{l}$, изображённые в координатной плоскости (рис. 8).
3. Найдите координаты векторов $\overrightarrow{m}$, $\overrightarrow{n}$, и $\overrightarrow{l}$, изображённых в координатной плоскости (рис. 8).
4. Найти координаты вектора $\overrightarrow{f} = 3 ( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + ( - 2 \overrightarrow{c} ) + ( - \overrightarrow{d} ) )$, если $\overrightarrow{a} \left\{\right. 0 ; 6 \left.\right\}$, $\overrightarrow{ b} \left\{\right. - 3 ; 8 \left.\right\}$, $\overrightarrow{c} \left\{\right. 1 ; 4 \left.\right\}$, $\overrightarrow{d} \left\{\right. - 2 ; 7 \left.\right\}$.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
2. Что значит разложить вектор по двум данным векторам?
3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
4. Что такое координатные векторы?
5. Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.
6. Что такое координаты вектора?
7. Чему равны координаты координатных векторов?
8. Как связаны между собой координаты равных векторов?
8. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, произведения вектора на число по заданным координатам векторов.
Упражнение 1
1. $\overrightarrow{d} = 2 \cdot \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{e} = - \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{i}$.
2. $\overrightarrow{m} = 9 \overrightarrow{i} – 2 \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{n} = - 3 i – 5 \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{l} = - 3 \overrightarrow{i} + 3 \overrightarrow{j}$.
3. $\overrightarrow{m} \left\{\right. 9 ; - 2 \left.\right\} ; \overrightarrow{n} \left\{\right. - 3 ; - 5 \left.\right\} ; \overrightarrow{l} \left\{\right. - 3 ; 3 \left.\right\}$.
4. $\overrightarrow{f} \left\{\right. - 9 ; - 3 \left.\right\}$.
