Конспект урока: Пирамида. Правильная пирамида

Рис. 1. Пирамида

Пусть многоугольник $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $S$ не лежит в этой плоскости. Соединим отрезками точку S с вершинами многоугольника $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$. В результате мы получим многогранник, составленный из многоугольника $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ и $n$ треугольников $S A_{1} A_{2}$, $S A_{2} A_{3}$, …, $S A_{n} A_{1}$.

Такой многогранник называется пирамидой.

Рис. 2. Треугольная пирамида

На рисунке 2 показана треугольная пирамида (тетраэдр), а на рисунке 3 – четырёхугольная пирамида и перпендикуляр $S H$, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания пирамиды. Этот перпендикуляр называется высотой пирамиды.

Рис. 4. К примеру 1

Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей основания пирамиды (рис. 4).

$A B = 8 \text{см}$, $B C = 6 \text{см}$.

Так как по условию боковые рёбра равны, то треугольники $S A C$ и $S B D$ – равнобедренные. При этом основание пирамиды ABCD является прямоугольником. По свойству параллелограмма $O$ – середина диагоналей $A C$ и $B D$. Значит $S O$ – медиана равнобедренных треугольников $S A C$ и $S B D$, проведённая к их основаниям. Значит, является и высотой этих треугольников.

Таким образом, $S O \bot A C$ и $S O \bot B D$. Отсюда следует, что отрезок $S O$ – перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, т. е. $S O$ – высота пирамиды.

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{см}$,

$C O = \frac{A C}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{см}$,

$S O = \sqrt{S C^{2} - C O^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{см}$.

Ответ: 12 см.

Рис. 5. К примеру 2

На рисунке 5 показана пирамида $S A B C$ в основании которой лежит прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $C$. Проведём высоты боковых граней $S H_{1}$, $S H_{2}$, $S H_{3}$ и высоту пирамиды $S O$. По условию задачи $\angle S H_{1} O = \angle S H_{2} O = \angle S H_{3} O = 60^{\circ}$, $S O$ – общий катет треугольников $S O H_{1}$, $S O H_{2}$ и $S O H_{3}$. Значит, по признаку равенства прямоугольных треугольников эти треугольники равны.

Из равенства треугольников следует, что $O H_{1} = O H_{2} = O H_{3}$. При этом $O H_{1}$, $O H_{2}$ и $O H_{3}$ являются проекциями высот боковых граней на плоскость $A B C$. Значит, $O H_{1} \bot A C$, $O H_{2} \bot B C$ и $O H_{3} \bot A B$. Это означает, что $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $A B C$.

$A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{см}$,

$S_{\Delta A B C} = \frac{A C \cdot B C}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{см}^{2}$,

$p = \frac{A C + B C + A B}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \text{см}$,

$O H_{1} = r = \frac{S_{\Delta A B C}}{p} = \frac{24}{12} = 2 \text{см}$.

Так как треугольник $S O H_{1}$ – прямоугольный и $\angle S H_{1} O = 60^{\circ}$, то $h = S O = O H_{1} \cdot \operatorname{tg} \angle S H_{1} O = 2 \sqrt{3} \text{см}$.

Ответ: $2 \sqrt{3} \text{см}$.

Рис. 6. К доказательству теоремы 1

Пусть $a$ – сторона основания правильной пирамиды;

$n$ – число сторон основания (рис. 6). Тогда боковая поверхность пирамиды равна

$S_{\text{б} \text{ок}} = \frac{a l}{2} \cdot n = \frac{a n l}{2} = \frac{P l}{2}$, 

где $l$ – апофема, $P$ – периметр основания пирамиды. 

Теорема доказана.

Рис. 7. К примеру 3

Сторону основания правильной пирамиды $S A B C$ обозначим буквой $x$ (рис. 7). Апофема $S H$ делит сторону основания $B C$ на отрезки $B H$ и $C H$, равные $\frac{x}{2}$. Выразим апофему через $x$.

$l = S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{10^{2} - \left( \frac{x}{2} \right)^{2}} =$ $\sqrt{\frac{400 - x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{400 - x^{2}}}{2}$.

Выразим площадь боковой поверхности пирамиды

$S_{\text{б} \text{ок}} = \frac{P \cdot l}{2} = \frac{3 \cdot x}{2} \cdot \frac{\sqrt{400 - x^{2}}}{2} = \frac{3 \cdot x \cdot \sqrt{400 - x^{2}}}{4}$.

Учитывая, что по условию $S_{\text{б} \text{ок}} = 144 \text{см}^{2}$, получим уравнение

$\frac{3 \cdot x \cdot \sqrt{400 - x^{2}}}{4} = 144$,

$x \cdot \sqrt{400 - x^{2}} = 192$,

$x^{2} \cdot ( 400 - x^{2} ) = 192^{2}$,

$x^{4} - 400 x^{2} + 192^{2} = 0$.

Решив данное биквадратное уравнение, получим $x_{1} = 16$ и $x_{2} = 12$.

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 16 см или 12 см.

При стороне основания 16 см, апофема равна 

$l = S H = \sqrt{100^{2} - 8^{2}} = 6 \text{см}$.

При стороне основания 12 см, апофема равна 

$l = S H = \sqrt{100^{2} - 6^{2}} = 8 \text{см}$.

Ответ: 16 см и 6 см или 12 см и 8 см.