Конспект урока: Усечённая пирамида

Усечённая пирамида

На рисунке 1 изображена пирамида $S A_{1} A_{2} A_{3} \ldots A_{n}$, основание которой лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$, пересекает боковые рёбра пирамиды в точках $B_{1} , B_{2} , B_{3} , \ldots , B_{n}$ и разбивает пирамиду на два многогранника. Один из многогранников заключён между основанием $A_{1} A_{2} A_{3} \ldots A_{n}$, боковыми гранями исходной пирамиды и многоугольником $B_{1} B_{2} B_{3} \ldots B_{n}$.

Этот многогранник является усечённой пирамидой и обозначается $A_{1} A_{2} A_{3} \ldots A_{n} B_{1} B_{2} B_{3} \ldots B_{n}$.

1A₂A₃…A_nB₁B₂B₃…B_n" loading="lazy" /> Рис. 1. Усечённая пирамида A₁A₂A₃…A_nB₁B₂B₃…B_n

Многоугольники $A_{1} A_{2} A_{3} \ldots A_{n}$ и $B_{1} B_{2} B_{3} \ldots B_{n}$ называются основаниями усечённой пирамиды.

 

Многоугольники $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$, $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$, …, $A_{n} A_{1} B_{1} B_{n}$ называются боковыми гранями усечённой пирамиды.

 

Отрезки $A_{1} B_{1}$, $A_{2} B_{2}$, …, $A_{n} B_{n}$ называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

 

На рисунке также показана высота $S H$ исходной пирамиды и высота $C H$ усечённой пирамиды.

Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. Докажем, например, что боковая грань $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ – трапеция (рис. 1). Стороны $A_{1} A_{2}$ и $B_{1} B_{2}$ параллельны, так как лежат на прямых, по которым плоскость $S A_{1} A_{2}$ пересекается с параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Другие две стороны $A_{1} B_{1}$ и $A_{2} B_{2}$ этой грани не параллельны, поскольку прямые, которым принадлежат эти стороны, пересекаются в точке S. Таким образом, в четырёхугольнике $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ две противоположные стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Значит, $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ – трапеция. Аналогично доказывается, что и остальные грани – трапеции.

Введём понятие правильной усечённой пирамиды.

Основания усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равные между собой равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.

Доказательство

Рис. 2. К доказательству теоремы 1

Боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные между собой равнобедренные трапеции с одним и тем же верхним основанием $a$, нижним $b$ и высотой (апофемой) $l$ (рис. 2). Поэтому площадь одной грани равна $\frac{1}{2} \cdot ( a + b ) \cdot l .$ Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна $\frac{1}{2} \cdot ( a n + b n ) \cdot l$, где 
$n$ – число вершин у оснований пирамиды, $a n$ и $b n$ – периметры оснований пирамиды.

 

Теорема доказана. 

Решение

Рис. 3. К примеру 1

Пусть квадраты $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ и $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ являются основаниями правильной четырёхугольной усечённой пирамиды (рис. 3).

По условию $A_{1} A_{2} = 10 \text{см}$, $B_{1} B_{2} = 2 \text{см}$.

Диагональное сечение этой призмы $A_{1} A_{3} B_{3} B_{1}$ является равнобедренной трапецией с основаниями $A_{1} A_{3}$ и $B_{1} B_{3}$.

Найдём эти основания.

 

$A_{1} A_{3} = \sqrt{A_{2} \left(A_{3}\right)^{2} + A_{1} \left(A_{2}\right)^{2}} =$ $\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$,

$B_{1} B_{3} = \sqrt{B_{2} \left(B_{3}\right)^{2} + B_{1} \left(B_{2}\right)^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$.

 

По условию высота пирамиды равна 7 см.  Значит, в прямоугольном треугольнике $A_{1} B_{1} H_{1}$ катет $B_{1} H_{1}$ равен 7 см. Найдём катет $A_{1} H_{1}$.

 

$A_{1} H_{1} = \frac{A_{1} A_{3} - B_{1} B_{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$.

 

Найдём теперь боковое ребро $A_{1} B_{1}$ усечённой пирамиды, которое является гипотенузой прямоугольного треугольника $A_{1} B_{1} H_{1}$.

 

$A_{1} B_{1} = \sqrt{A_{1} \left(H_{1}\right)^{2} + B_{1} \left(H_{1}\right)^{2}} = \sqrt{\left( 4 \sqrt{2} \right)^{2} + 7^{2}} = \sqrt{32 + 49} = \sqrt{81} = 9 \text{см}$.

 

Ответ: 9 см.

Решение

Рис. 4. К примеру 2

 

Центры оснований $O_{1}$ и $O_{2}$ правильной усечённой треугольной пирамиды $A_{1} A_{2} A_{3} B_{1} B_{2} B_{3}$ (рис. 4) делят медианы оснований $A_{3} M$ и $B_{3} N$ в отношении 2:1 считая от вершин $A_{3}$ и $B_{3}$. Отрезок $O_{1} O_{2}$ является высотой пирамиды. 

 

Найдём сначала медианы равносторонних треугольников $A_{1} A_{2} A_{3}$ и $B_{1} B_{2} B_{3}$ (они также являются и высотами этих треугольников).

$A_{3} M = \sqrt{A_{2} \left(A_{3}\right)^{2} - A_{2} M^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \text{дм}$;

$B_{3} N = \sqrt{B_{2} \left(B_{3}\right)^{2} - B_{2} N^{2}} = \sqrt{1^{2} - \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{дм}$.

Теперь найдём отрезки $A_{3} O_{1}$ и $B_{3} O_{2}$.

$A_{3} O_{1} = \frac{2}{3} \cdot A_{3} M = \frac{2}{3} \cdot 2 \sqrt{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \text{дм}$;

$B_{3} O_{2} = \frac{2}{3} \cdot B_{3} N = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{дм}$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $O_{1} A_{3} B_{3} O_{2}$. Проведём высоту $B_{3} H$.

$B_{3} H = O_{1} O_{2}$.

$A_{3} H = A_{3} O_{1} - B_{3} O_{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{дм}$.

По условию $A_{3} B_{3} = 2 \text{дм}$.

Тогда по теореме Пифагора получим

$B_{3} H = \sqrt{A_{3} \left(B_{3}\right)^{2} - A_{3} H^{2}} = \sqrt{2^{2} - \sqrt{3}^{2}} = \sqrt{4 - 3} = 1 \text{дм}$.

Таким образом, мы нашли высоту усечённой пирамиды $O_{1} O_{2} = 1 \text{дм}$.

Ответ: 1 дм.