- Основные свойства сложения
- Основные свойства умножения
- Знать основные свойства сложения и умножения
- Уметь находить значение выражения, применяя свойства сложения и умножения
- Какие свойства сложения вы знаете?
- Какие свойства умножения вы знаете?
Из курса математики прошлых лет мы помним с вами выражение: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Давайте вспомним, какие еще свойства сложения и умножения мы знаем.
Переместительное свойство: для любых чисел $x$ и $y$ верны равенства
$x + y = y + x$, $x y = y x$.
Сочетательное свойство: для любых чисел $x$, $y$ и $z$ верны равенства
$( x + y ) + z = x + ( y + z )$, $( x y ) z = x ( y z )$.
Распределительное свойство: для любых чисел $x$, $y$ и $z$ верно равенство
$x ( y + z ) = x y + x z$.
Попробуем применить переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения на практике. Представьте себе, что вы решили сходить в магазин и решили посчитать, во сколько вам обойдется ваша покупка. Имеет ли значение, в каком порядке вы будете складывать стоимость продуктов в вашей корзине? Изменится ли сумма вашей покупки, если вы сначала посчитаете стоимость фруктов, затем посчитаете стоимость овощей, затем стоимость остальных товаров и потом посчитаете итоговую стоимость? Какой вывод из этого мы можем сделать?
В любой сумме или произведении можно как угодно переставлять слагаемые и множители и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 1
Вычислите сумму $3,24 + 16,4 + 16,76$.
Решение
Чтобы вычислить значение данного выражения, удобно поменять местами второе и третье слагаемое, затем выполнить последовательно сложение:
$3,24 + 16,4 + 16,76 = 3,24 + 16,76 + 16,4 = 20 + 16,4 = 36,4$
Ответ: $36,4$.
Пример 2
Вычислите произведение $5 \cdot 36 \cdot 0,2$.
Решение
Чтобы вычислить значение данного выражения, удобно поменять местами второй и третий множитель, затем выполнить последовательно умножение
$5 \cdot 36 \cdot 0,2 = 5 \cdot 0,2 \cdot 36 = 1 \cdot 36 = 36$
Ответ: $36$.
Распределительное свойство имеет место и в случае трёх и более слагаемых в скобках. Для любых чисел $x , y , z , t$ верно равенство $x ( y + z + t ) = x y + x z + x t .$
Вспомним правило вычитания рациональных чисел: чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: $x - y = x + ( - y ) .$
Таким образом, $a - b + c - d = a + ( - b ) + c + ( - d )$, т. е. выражение $a - b + c - d$представляет собой сумму чисел $a , - b , c , - d$. И для таких выражений все рассмотренные выше свойства имеют место.
Пример 3
Найдите значение выражения $6,31 - 3,64 - 2,36 + 5,4$.
Решение
Для вычисления значения данного выражения можно сгруппировать положительные числа и отрицательные числа между собой: $6,31 + 5,4$ и $- ( 3,64 + 2,36 )$, затем посчитать значение каждого выражения и сложить их.
$( 6,31 + 5,4 ) - ( 3,64 + 2,36 ) = 11,71 - 6 = 5,71$
Ответ: $5,71$.
Пример 4
Вычислите произведение $42 \cdot ( \frac{1}{7} - \frac{3}{14} )$.
Решение
Чтобы вычислить значение данного выражения, применим распределительное свойство умножения.
$42 \cdot ( \frac{1}{7} - \frac{3}{14} ) = 42 \cdot \frac{1}{7} - 42 \cdot \frac{3}{14} = 6 - 9 = - 3$
Ответ: $- 3$.
Упражнение 1
1. Найдите значение выражения $2,45 - 3,61 + 7,55 - 9,39$.
2. Найдите значение выражения $64 \cdot ( \frac{1}{8} + \frac{5}{16} )$.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается переместительное свойство сложения?
2. В чем заключается переместительное свойство умножения?
3. В чем заключается сочетательное свойство умножения?
4. В чем заключается сочетательное свойство сложения?
5. В чем заключается распределительное свойство умножения?
Упражнение 1
1. $- 3$.
2. $28$.