Конспект урока: Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций

Четность, нечетность тригонометрических функций

В курсе основной школы были изучены такие понятия, как четность, нечетность функций. Напомним их.

Областью определения функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ является множество $R$ всех действительных чисел и, кроме того, для любого значения $x$ справедливы равенства $\sin ( - x ) = - \sin x$, $\cos ( - x ) = \cos x$. Тогда функция $y = \sin x$ – нечетная функция, а $y = \cos x$ – четная. Областью определения функции $y = \operatorname{tg} x$ является множество всех действительных чисел, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$ и в каждой точке области определения верно равенство $\operatorname{tg} ( - x ) = - \operatorname{tg} x$. Тогда функция $y = \operatorname{tg} x$ – нечетная. Аналогично рассуждая, получим, что на множестве $R$ за исключением чисел $x = \pi n$, $n \in Z$ функция $y = \operatorname{ctg} x$ – нечетная.

Выяснить, является ли четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной функция:

1) $f ( x ) = 3 x^{4} + 3 \cos x$;

2) $f ( x ) = \frac{2 \sin x}{1 + \cos x}$.

Решение

1) Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем $f ( - x )$ и сравним с $f ( x )$.

$f \left(- x\right) = 3 \left(- x\right)^{4} + 3 \cos \left(- x\right) = 3 x^{4} + 3 \cos x = f ( x )$.

Значит, данная функция является четной.

2) Область определения функции $D \left(f\right) : 1 + \cos x \neq 0$, откуда $x \neq \pi + 2 \pi n$, $n \in Z$.

$f \left(- x\right) = \frac{2 \sin \left(- x\right)}{1 + \cos \left(- x\right)} = \frac{- 2 \sin x}{1 + \cos x} = - \frac{2 \sin x}{1 + \cos x} = - f \left(x\right)$.

Функция $f ( x ) = \frac{2 \sin x}{1 + \cos x}$ – нечетная.

Ответ: 1) четная; 2) нечетная.

Выяснить, является ли четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной функция:

1) $y = \frac{5}{1 - \sqrt{2} \sin x}$;

2) $y = 3 + \sin x - \cos x$.

Известно, что для любого действительного $x$ справедливы равенства $\sin \left(x + 2 \pi\right) = \sin x$, $\cos \left(x + 2 \pi\right) = \cos x$, т.е. если периодически изменять аргумент на $2 \pi$, то значения синуса и косинуса будут повторяться. Такие функции называются периодическими с периодом $2 \pi$.

Из определения следует, что если $x$ принадлежит области определения $f \left(x\right)$, то и числа $x - T$, $x + T$ (а вообще говоря, числа $x + T n$, $n \in Z$) также принадлежат области определения этой периодической функции, $f \left(x + T n\right) = f \left(x\right)$, $n \in Z$.

Функции $y = \operatorname{tg} x$, $y = \operatorname{ctg} x$ являются периодическими с периодом $T = \pi$.

Докажите, что функция является периодической с периодом $T$.

1) $f ( x ) = \sin \frac{x}{2}$, $T = 4 \pi$;

2) $f ( x ) = \sin 2 x + \cos x$, $T = 2 \pi$.

Решение

1) Функция определена на всей числовой оси. Докажем, что для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $f \left(x + T\right) = f \left(x\right)$.

$f \left(x + 4 \pi\right) = \sin \frac{x + 4 \pi}{2} = \sin \left(\frac{x}{2} + 2 \pi\right) = \sin \frac{x}{2} = f \left(x\right)$.

Итак, равенство  $f ( x + T ) = f ( x )$ выполняется для любого $x$ из области определения. Аналогично $f ( x - T ) = f ( x )$. Значит, $T = 4 \pi$ — период данной функции.

2) Для преобразования формулы, задающей функцию, воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и вынесем общий множитель за скобки.

$f ( x ) = \cos x \left(2 \sin x + 1\right)$.

Функция определена на всей числовой оси. Докажем выполнение равенства $f ( x + T ) = f ( x )$ для каждой точки области определения.

$f \left(x + 2 \pi\right) = \cos \left(x + 2 \pi\right) \left(2 \sin \left(x + 2 \pi\right) + 1\right) =$

$= \cos x \left(2 \sin x + 1\right) = f ( x )$ .

Равенство $f \left(x + T\right) = f ( x )$ выполняется для любого $x$ из области определения. Аналогично, $f ( x - T ) = f ( x )$, т.е. $T = 2 \pi$ – период данной функции.

Найти наименьший положительный период функции $f \left(x\right) = \sin \left(\frac{2}{3} x\right)$.

Решение

Функция определена на всей числовой оси. Так как она периодическая, то для каждой точки области определения выполняется равенство $f \left(x + T\right) = f \left(x\right)$, т.е. 

$\sin \left(\frac{2}{3} \left(x + T\right)\right) = \sin \left(\frac{2}{3} x\right)$,

$\sin \left(\frac{2}{3} x + \frac{2}{3} T\right) = \sin \left(\frac{2}{3} x\right)$, отсюда $\frac{2}{3} T = 2 \pi$, $T = 3 \pi$.

Ответ: $3 \pi$.

Чтобы лучше запомнить, какая из тригонометрических функций будет четной, какая – нечетной, а также наименьший положительный период, заполним следующую таблицу.

Таблица четности, нечетности, периодичности тригонометрических функций

1. Доказать, что функция является периодической с периодом $T$.

1) $y = \sin \frac{3}{4} x$, $T = \frac{8 \pi}{3}$;

2) $y = \sin 5 x - \cos 5 x$, $T = \frac{2 \pi}{5}$;

3) $y = \operatorname{tg} \left(3 x - \frac{2 \pi}{3}\right)$, $T = \frac{\pi}{3}$;

4) $y = \operatorname{tg} x$, $T = \pi$.

2. Найти наименьший положительный период функций: 

1) $y = 6 - \sin x$;

2) $y = \cos 4 x$.