Конспект урока: Обратные тригонометрические функции

Функция $\mathbf{\mathit{y}} = \mathbf{\mathit{a}} \mathbf{\mathit{r}} \mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{s}} \mathbf{\mathit{i}} \mathbf{\mathit{n}} \mathbf{\mathit{x}}$

На каждом из отрезков $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$, $\left[\frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right]$, $\left[\frac{3 \pi}{2} ; \frac{5 \pi}{2}\right]$ и т.д. функция $y = \sin x$ монотонна и принимает значения из отрезка $\left[- 1 ; 1\right]$. Тогда по теореме об обратной функции, изученной в 10 классе, на каждом из указанных промежутков функция $y = \sin x$ имеет обратную.

Также ранее было изучено, что для любого $x$ из $\left[- 1 ; 1\right]$ определено одно число $y = \arcsin x$, т.е. можно сказать, что на отрезке $\left[- 1 ; 1\right]$ задана функция $y = \arcsin x$.

y = arcsin ⁡x и y = sin⁡ x на отрезке [– π/2; π/2]" loading="lazy" /> Рис. 1. Симметричность графиков функций 

y = arcsin ⁡x и y = sin⁡ x на отрезке [– π/2; π/2]

Покажем, что функции $y = \arcsin x$ и $y = \sin x$, где $x \in \left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$  взаимно обратны.

 

Пусть дано уравнение $\sin x = y$, где $x$ – переменная, $y$ – число из $\left[- 1 ; 1\right]$, тогда на $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ это уравнение имеет единственный корень $x = \arcsin y$. Меняем местами $x$ и $y$, тогда $y = \arcsin x$. Видим, что функции $y = \arcsin x$ и $y = \sin x$ взаимно обратные.

 

График функции $y = \arcsin x$ симметричен графику $y = \sin x$, где $x \in \left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ относительно прямой $y = x$ (Рис. 1).

Функция $\mathbf{\mathit{y}} = \mathbf{\mathit{a}} \mathbf{\mathit{r}} \mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{o}} \mathbf{\mathit{s}} \mathbf{\mathit{x}}$

x 
и y = cos⁡ x на [0; π]" loading="lazy" /> Рис. 2. Симметричность графиков функций y = arccos⁡ x 
и y = cos⁡ x на [0; π]

На каждом из отрезков $\left[- \pi ; 0\right]$, $\left[0 ; \pi\right]$, $\left[\pi ; 2 \pi\right]$ и т.д. функция $y = \cos x$ монотонна и принимает значения из отрезка $\left[- 1 ; 1\right]$. Тогда по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция $y = \cos x$ имеет обратную функцию.

 

Для каждого $x \in [ - 1 ; 1 \left]\right.$  определено одно число $y = \arccos x$, т.е. можно сказать, что на отрезке $\left[- 1 ; 1\right]$ задана функция $y = \arccos x$. Она является обратной для функции $y = \cos x$, где $x \in [ 0 ; \pi \left]\right.$. График функции $y = \arccos x$ симметричен графику  $y = \cos x$,  $x \in [ 0 ; \pi \left]\right.$ относительно прямой $y = x$ (Рис. 2).

Функция $\mathbf{\mathit{y}} = \mathbf{\mathit{a}} \mathbf{\mathit{r}} \mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{t}} \mathbf{\mathit{g}} \mathbf{\mathit{x}}$

x и 
y = tg x на промежутке [– π/2; π/2]" loading="lazy" /> Рис. 3. Симметричность график функций y = arctg x и 
y = tg x на промежутке [– π/2; π/2]

На каждом из интервалов $\left(- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)$, $\left(\frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right)$, $\left(\frac{3 \pi}{2} ; \frac{5 \pi}{2}\right)$ и т.д. функция $y = \operatorname{tg} x$ монотонна. Значит, по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет обратную функцию.

 

Для любого действительного $x$ определено одно число $y = \operatorname{arctg} x$, т.е. можно сказать, что на числовой прямой задана функция $y = \operatorname{arctg} x$.

 

Если рассмотреть функцию $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $\left(- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)$, то функции $y = \operatorname{arctg} x$ и $y = \operatorname{tg} x$ на нем будут взаимно обратные.

 

График функции $y = \operatorname{arctg} x$ симметричен графику $y = \operatorname{tg} x$, где $x \in \left(- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) ,$ относительно прямой $y = x$ (Рис. 3).

Функция $\mathbf{\mathit{y}} = \mathbf{\mathit{a}} \mathbf{\mathit{r}} \mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{t}} \mathbf{\mathit{g}} \mathbf{\mathit{x}}$

x и 
y = ctg x на (0; π)" loading="lazy" /> Рис. 4. Симметричность графиков функций y = arcctg x и 
y = ctg x на (0; π)

На каждом из интервалов $\left(- \pi ; 0\right)$, $\left(0 ; \pi\right)$, $\left(\pi ; 2 \pi\right)$ и т.д. функция $y = \operatorname{ctg} x$ монотонна. Значит, по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция $y = \operatorname{ctg} x$ имеет обратную функцию.

 

Для любого действительного $x$ определено одно число $y = \operatorname{arcctg} x$, т.е. можно сказать, что на числовой прямой задана функция $y = \operatorname{arcctg} x$.

 

Если рассмотреть функцию $y = \operatorname{ctg} x$ на интервале $\left(0 ; \pi\right)$, то функции $y = \operatorname{arcctg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ на нем будут взаимно обратные.

 

График функции $y = \operatorname{arcctg} x$ симметричен графику $y = \operatorname{ctg} x$, где $x \in \left(0 ; \pi\right) ,$ относительно прямой $y = x$ (Рис. 4).

Функции $y = \arcsin x , y = \arccos x , y = \operatorname{arctg} x , y = \operatorname{arcctg} x$ называются обратными тригонометрическими функциями.

Сравнить числа:

1) $\arcsin \left(- \frac{2}{3}\right)$ и $\arcsin \left(- \frac{1}{2}\right)$;

2) $\operatorname{arcctg} \frac{1}{7}$ и $\operatorname{arcctg} \frac{1}{8}$.

Решение

1. $- \frac{2}{3} \in [ - 1 ; 1 \left]\right.$, $- \frac{1}{2} \in [ - 1 ; 1 \left]\right.$ и $- \frac{2}{3} < - \frac{1}{2}$. Функция $y = \arcsin x$ возрастает, тогда $\arcsin \left(- \frac{2}{3}\right) < \arcsin \left(- \frac{1}{2}\right)$.

2. $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$. Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ убывает, тогда $\operatorname{arcctg} \frac{1}{7} < \operatorname{arcctg} \frac{1}{8}$.

Ответ: 1)$\arcsin \left(- \frac{2}{3}\right) < \arcsin \left(- \frac{1}{2}\right)$ ; 2) $\operatorname{arcctg} \frac{1}{7} < \operatorname{arcctg} \frac{1}{8}$.

Решить уравнение $\arccos \left(3 x + 4\right) = \frac{2 \pi}{3}$.

Решение

$\frac{2 \pi}{3} \in [ 0 ; \pi \left]\right.$, тогда по определению арккосинуса числа исходное уравнение равносильно уравнению 

$3 x + 4 = \cos \frac{2 \pi}{3}$, $3 x + 4 = - \frac{1}{2}$, $x = - 1,5$.

Ответ: $- 1,5$.

Найти область определения функции $y = \arcsin \frac{x - 2}{3}$.

Решение

Областью определения функции $y = \arcsin x$ является отрезок $\left[- 1 ; 1\right]$, значит и исходная функция определена при тех значениях переменной $x$, при которых выполняется двойное неравенство $- 1 \leq \frac{x - 2}{3} \leq 1$. 

Перепишем последнее в виде $\begin{cases} \frac{x - 2}{3} \geq - 1 , \\ \frac{x - 2}{3} \leq 1 . \end{cases}$ 

Отсюда $\begin{cases} x \geq - 1 , \\ x \leq 5 . \end{cases}$

Ответ: $- 1 \leq x \leq 5$.

1. Сравнить числа: 

1) $\operatorname{arctg} 2 \sqrt{6}$ и $\operatorname{arctg} 6 \sqrt{2}$;

2) $\arccos \left(- \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ и $\arccos \left(- \frac{1}{\sqrt{7}}\right)$.

2. Решить уравнение $\arcsin 2 x = \frac{\pi}{4}$.

3. Найти область определения функции $y = \arccos \left(3 \sqrt{x} - 2\right)$.