Конспект урока: Свойства функции y=cos x и ее график. Свойства функции y=sin x и ее график. Свойства функции y=tg x и ее график

Рис. 1. Асимптоты графика функции y=tg x

Ранее было установлено, что функция $y = \operatorname{tg} x$ определена на множестве всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$, т.е. на графике нет точек, принадлежащих прямым $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3 \pi}{2}$, $x = \frac{5 \pi}{2}$, $x = - \frac{\pi}{2}$ и т.д. Обозначим эти прямые пунктирной линией (рис. 1).

Рис. 2. График функции y=tg x на промежутке [0;π/2)

Очевидно, график функции $y = \operatorname{tg} x$ состоит из бесконечного количества ветвей, расположенных в полосах между  $x = - \frac{3 \pi}{2}$ и $x = - \frac{\pi}{2}$, $x = - \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3 \pi}{2}$ и т.д.

Эти прямые являются вертикальными асимптотами графика.

Выясним, возрастающей или убывающей является функция $y = \operatorname{tg} x$. Возьмем $x_{1}$ и $x_{2}$ из $[ 0 ; \frac{\pi}{2} )$, причем $x_{1} < x_{2}$, т.е. $0 \leq x_{1} < x_{2} < \frac{\pi}{2}$. Сравним $\operatorname{tg} x_{1}$ и $\operatorname{tg} x_{2}$. 

$\operatorname{tg} x_{1} = \frac{\sin x_{1}}{\cos x_{1}}$, $\operatorname{tg} x_{2} = \frac{\sin x_{2}}{\cos x_{2}}$. 

Так как $0 \leq x_{1} < x_{2} < \frac{\pi}{2}$, то $\sin x_{1} < \sin x_{2}$ (функция $y = \sin x$ на $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ возрастает), а $\cos x_{1} > \cos x_{2} > 0$ (функция $y = \cos x$ на $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ убывает и положительна), но тогда $\frac{1}{\cos x_{1}} < \frac{1}{\cos x_{2}}$. Получили, что $\frac{\sin x_{1}}{\cos x_{1}} < \frac{\sin x_{2}}{\cos x_{2}}$, значит, функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на $[ 0 ; \frac{\pi}{2} )$. 

Для построения графика возьмем несколько точек из $[ 0 ; \frac{\pi}{2} )$ и найдем значения функции в этих точках, нанесем их в координатной плоскости (рис. 2).

Рис. 3. График функции y=tg x на промежутке (-π/2;π/2)

Мы знаем, что функция $y = \operatorname{tg} x$ нечетная. Отобразим полученный график симметрично относительно начала координат, тем самым получим график на промежутке $\left(- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)$  (рис. 3). 

Рис. 4. График функции y=tg x

Кроме того, функция $y = \operatorname{tg} x$ периодическая с периодом $T = \pi$. Будем сдвигать построенную ветвь по оси $O x$ влево и вправо на $\pi$, $2 \pi$, $3 \pi$ и т.д., таким образом построим график на всей области определения (рис. 4).

График функции $y = \operatorname{tg} x$ называют тангенсоидой. Ту часть, которая изображена на рис. 3 – главной ветвью тангенсоиды.

Рис. 5. Графическое решение уравнения tg x=√3

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \sqrt{3}$. На $\left[- 2 \pi ; \frac{\pi}{2}\right]$ графики функций пересекаются в трех точках (рис. 5) с абсциссами $x_{1} = \operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, $x_{2} = - \pi + \operatorname{arctg} \sqrt{3} = - \frac{2 \pi}{3}$, $x_{3} = - 2 \pi + \operatorname{arctg} \sqrt{3} = - \frac{5 \pi}{3}$.

Ответ: $- \frac{5 \pi}{3} ; - \frac{2 \pi}{3} ; \frac{\pi}{3}$.

Рис. 6. Графическое решение неравенства tg x≤√3

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \sqrt{3}$. На $\left[- \frac{3 \pi}{2} ; \pi\right]$ графики функций пересекаются в двух точках (рис. 6) с абсциссами $x_{1} = \frac{\pi}{3}$, $x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$. При этом график функции $y = \operatorname{tg} x$ лежит не выше прямой $y = \sqrt{3}$ при $- \frac{3 \pi}{2} < x \leq x_{2} ,$ $- \frac{\pi}{2} < x \leq x_{1} ,$ $\frac{\pi}{2} < x \leq \pi .$ Тогда решениями неравенства $\operatorname{tg} x \leq \sqrt{3}$ в $\left[- \frac{3 \pi}{2} ; \pi\right]$ являются $- \frac{3 \pi}{2} < x \leq - \frac{2 \pi}{3}$, $- \frac{\pi}{2} < x \leq \frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2} < x \leq \pi .$

Ответ: $( - \frac{3 \pi}{2} ; - \frac{2 \pi}{3} \left]\right. \cup ( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{3} \left]\right.$ $\cup ( \frac{\pi}{2} ; \pi )$.

y = tg (x + π/2) на 
промежутке (– π/2; π/2)" loading="lazy" /> Рис. 7. График функции
y = tg (x + π/2) на 
промежутке (– π/2; π/2)

Пусть дана главная ветвь тангенсоиды $y = \operatorname{tg} x$ (рис. 3). Сдвинем ее по оси $O x$ на $\frac{\pi}{2}$ влево (рис. 7).   

y = – tg (x + π/2) на промежутке (– π/2; π/2)" loading="lazy" /> Рис. 8. График функции
y = – tg (x + π/2) на промежутке (– π/2; π/2)

Полученную ветвь отобразим симметрично относительно оси $O x$ (рис. 8).                                

Рис. 9. График функции y=ctg x

Так как функция периодическая с периодом $T = \pi$, то построим график функции $y = - \operatorname{tg} \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ на всей области определения (рис. 9).

Рис. 10. Графическое решение уравнения ctg x=-1

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = - 1$. На $[ 0 ; 2 \pi \left]\right.$ графики функций пересекаются в двух точках (рис. 10) с абсциссами $x_{1} = \operatorname{arcctg} ( - 1 ) =$

$= \pi - \operatorname{arcctg} 1 = \frac{3 \pi}{4}$, 

$x_{2} = 2 \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7 \pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3 \pi}{4} ; \frac{7 \pi}{4}$.

Рис. 11. Графическое решение неравенства ctg x<-1

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = - 1$. На $\left[- \frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$ графики функций пересекаются в трех точках (рис. 11) с абсциссами $x_{1} = - \frac{\pi}{4}$, $x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$, $x_{3} = \frac{7 \pi}{4}$. При этом график функции $y = \operatorname{ctg} x$ лежит ниже прямой $y = - 1$ при $x_{1} < x < 0$, $x_{2} < x < \pi$, $x_{3} < x < 2 \pi$. Тогда решениями неравенства $\operatorname{ctg} x < - 1$ в $\left[- \frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$ являются $- \frac{\pi}{4} < x < 0$, $\frac{3 \pi}{4} < x < \pi$, $\frac{7 \pi}{4} < x < 2 \pi$.

Ответ: $( - \frac{\pi}{4} ; 0 ) \cup ( \frac{3 \pi}{4} ; \pi ) \cup ( \frac{7 \pi}{4} ; 2 \pi )$.