Конспект урока: Область определения и множество значений тригонометрических функций

Из курса алгебры нам известно, что функцией называют зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$. 

Если повернуть точку (1;0) на угол $x$ радиан вокруг начала координат $\left(x \in R\right)$, то каждому числу $x$ будет соответствовать единственная точка единичной окружности. А так как у каждой точки есть координаты $\left(\cos x ; \sin x\right)$, то каждому действительному $x$ соответствуют числа $\cos x$ и $\sin x$, т.е. на множестве действительных чисел $R$ определены функции $y = \cos x$ и $y = \sin x$.

Область определения и множество значений тригонометрических функций

Исходя из описанного выше, областью определения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является множество $R$ действительных чисел. По определению, тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу, котангенс – отношение косинуса угла к его синусу, тогда для нахождения области определения функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ нужно исключить те точки, в которых знаменатели дробей будут равны нулю, т.е.

$\sin x \neq 0$, $x \neq \pi n$, $n \in Z$, $\cos x \neq 0$, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$.

Уравнения $\sin x = a$ и $\cos x = a$ имеют корни при $\left|a\right| \leq 1$ и не имеют решений при $\left|a\right| > 1$, тогда множеством значений функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является отрезок $\left[- 1 ; 1\right]$. Отсюда следует, что эти функции являются ограниченными.  Уравнения $\operatorname{tg} x = a$ и $\operatorname{ctg} x = a$ имеют решения при любом действительном значении $a$, тогда их множеством значений будет все множество действительных чисел $R$.

Найти область определения функций:

1. $y = \cos \sqrt{3 - x^{2}}$;

2. $y = \frac{5}{\sin x + 2 \cos x}$.

Решение

1) Выражение $\cos \sqrt{3 - x^{2}}$ имеет смысл при $3 - x^{2} \geq 0$, т.е. при $x \in \left[- \sqrt{3} ; \sqrt{3}\right]$.

2) Выражение  $\frac{5}{\sin x + 2 \cos x}$ имеет смысл при всех значениях переменной $x$, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль. Решим уравнение $\sin x + 2 \cos x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе части уравнения на $\cos x \neq 0$, получим $\operatorname{tg} x + 2 = 0$, откуда $x = - \operatorname{arctg} 2 + \pi n$, $n \in Z$. Значит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме $x = - \operatorname{arctg} 2 + \pi n$, $n \in Z$.

Ответ: 1) $\left[- \sqrt{3} ; \sqrt{3}\right]$; 2) $x \neq - \operatorname{arctg} 2 + \pi n$, $n \in Z$.

Найти множество значений функций:

1. $y = 5 \cos 2 x + 2$;

2. $y = 3 \sin^{2} x + 4 \sin x \cos x + \cos^{2} x$.

Решение

1) Так как $- 1 \leq \cos 2 x \leq 1$, то $- 5 \leq 5 \cos 2 x \leq 5$, откуда $- 3 \leq 5 \cos 2 x + 2 \leq 7$, функция $y = 5 \cos 2 x + 2$ принимает все значения из $\left[- 3 ; 7\right]$, значит, множество значений этой функции - $\left[- 3 ; 7\right]$. 

2) Выясним, при каких значениях $a$ уравнение $3 \sin^{2} x + 4 \sin x \cos x + \cos^{2} x = a$ имеет смысл. Представим 1 по основному тригонометрическому тождеству и умножим ее на $a$:

$3 \sin^{2} x + 4 \sin x \cos x + \cos^{2} x = a \left(\sin^{2} x + \cos^{2} x\right)$,

$\left(3 - a\right) \sin^{2} x + 4 \sin x \cos x + \left(1 - a\right) \cos^{2} x = 0$.

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка, разделим обе части уравнения на $\cos^{2} x \neq 0$, тогда $\left(3 - a\right) \operatorname{tg}^{2} x + 4 \operatorname{tg} x + \left(1 - a\right) = 0 .$

Пусть $\operatorname{tg} x = t$, имеем $\left(3 - a\right) t^{2} + 4 t + \left(1 - a\right) = 0$. Это уравнение имеет решение, когда дискриминант неотрицательный. 

$D_{1} = 4 - \left(3 - a\right) \left(1 - a\right) \geq 0$,

$a^{2} - 4 a - 1 \leq 0$,

$a \in \left[2 - \sqrt{5} ; 2 + \sqrt{5}\right]$.

Значит, множеством значений является отрезок $\left[2 - \sqrt{5} ; 2 + \sqrt{5}\right]$.

Ответ: 1) $\left[- 3 ; 7\right]$; 2) $\left[2 - \sqrt{5} ; 2 + \sqrt{5}\right]$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{2} \sin x + \cos x$.

Решение

Применим метод введения вспомогательного аргумента при преобразовании выражения вида $a \sin x + b \cos x$. Умножим и разделим каждый член выражения $\sqrt{2} \sin x + \cos x$ на $\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$, получим 

$\sqrt{2} \sin x + \cos x = \sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos x\right) = \sqrt{3} \sin \left(x + \varphi\right)$, где $\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Тогда $y = \sqrt{3} \sin \left(x + \varphi\right)$.

Так как $- 1 \leq \sin \left(x + \varphi\right) \leq 1$, то $- \sqrt{3} \leq \sqrt{3} \sin \left(x + \varphi\right) \leq \sqrt{3}$. Значит, наибольшее значение функции равно $\sqrt{3}$, а наименьшее - $- \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$, $- \sqrt{3}$.

1. Найти область определения функций 

а) $y = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $y = \frac{4}{3 \sin x - \cos x }$.

2. Найти множество значений функций

а) $y = 6 \sin x - 8 \cos x$;

б) $y = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1$.

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функций

а) $y = 5 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$;

б) $y = 2 \sin x + \cos x$.