Конспект урока: Первообразная

Первообразная

Пусть материальная точка движется вдоль прямой по закону, заданному функцией $s ( t )$. Тогда мгновенная скорость движения это $\vartheta ( t ) = s ' ( t )$. Часто требуется решить обратную задачу: по заданной скорости движения $\vartheta ( t )$ найти закон движения, т.е. нужно найти такую функцию $s ( t )$, производная которой равна $\vartheta ( t )$. При этом функцию $s ( t )$, такую, что $s^{'} \left(t\right) = v \left(t\right)$ называют первообразной функции $\vartheta ( t )$.

Например, функция $F ( x ) = \cos x$ является первообразной функции $f ( x ) = - \sin x$, т.к. $( \cos x )^{'} = - \sin x$, функция $F ( x ) = \frac{x^{3}}{3}$ – первообразная для функции $f ( x ) = x^{2}$, т.к. $\left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{'} = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} = x^{2}$.

Показать, что функция $F ( x )$ – первообразная функции $f ( x )$ на всей числовой прямой, если

1. $F ( x ) = \frac{x^{6}}{6}$, $f ( x ) = x^{5}$;
2. $F ( x ) = - \frac{1}{9} x^{3} + 8$, $f ( x ) = - \frac{1}{3} x^{2}$;
3. $F ( x ) = 5 \sin x - 2$, $f ( x ) = 5 \cos x$;
4. $F ( x ) = 3 e^{\frac{x}{3}} - \frac{1}{3} \cos 3 x$, $f ( x ) = e^{\frac{x}{3}} + \sin 3 x$.

Решение

Найдем производные функции $F ( x )$ в каждом из предложенных случаев, и покажем, что они будут равны заданным функциям $f ( x )$.

1. $F^{'} ( x ) = \left(\frac{x^{6}}{6}\right)^{'} = \frac{1}{6} \cdot 6 x^{5} = x^{5} = f ( x )$;
2. $F^{'} ( x ) = \left(- \frac{1}{9} x^{3} + 8\right)^{'} = - \frac{1}{9} \cdot 3 x^{2} + 0 = - \frac{1}{3} x^{2} = f ( x )$;
3. $F^{'} ( x ) = ( 5 \sin x - 2 )^{'} = 5 \cos x - 0 = 5 \cos x = f ( x )$;
4. $F^{'} ( x ) = \left(3 e^{\frac{x}{3}} - \frac{1}{3} \cos 3 x\right)^{'} = 3 e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \sin 3 x \cdot 3 = e^{\frac{x}{3}} + \sin 3 x = f ( x )$.

Показать, что функция $F ( x )$ – первообразная функции $f ( x )$ на всей числовой прямой, если

1. $F ( x ) = \frac{x^{8}}{4}$, $f ( x ) = 2 x^{7}$;
2. $F ( x ) = 4 \sin 5 x + 6$, $f ( x ) = 20 \cos 5 x$;
3. $F ( x ) = 3 e^{3 x} - 8$, $f ( x ) = 9 e^{3 x}$.

Докажите, что функции $\frac{x^{4}}{4} , \frac{x^{4}}{4} + 2 , \frac{x^{4}}{4} - 3$ являются первообразными для функции $f ( x ) = x^{3}$.

Решение

Пусть $g ( x ) = \frac{x^{4}}{4}$, $h ( x ) = \frac{x^{4}}{4} + 2$, $k ( x ) = \frac{x^{4}}{4} - 3$. Найдем производную каждой из этих функций.

$g^{'} ( x ) = \frac{1}{4} \cdot 4 x^{3} = x^{3} = f ( x )$, $h^{'} ( x ) = \frac{1}{4} \cdot 4 x^{3} + 0 = x^{3} = f ( x )$, $k^{'} ( x ) = \frac{1}{4} \cdot 4 x^{3} - 0 = x^{3} = f ( x )$.

Видим, что каждая из функций $g ( x ) , h ( x ) , k ( x )$ является первообразной для функции $f ( x )$, что и требовалось доказать.

Так как производная константы равна нулю, то любая функция $\frac{x^{4}}{4} + C$, где $C$ – постоянная, является первообразной функции $x^{3}$. Можно сделать вывод, что первообразная для заданной функции определяется неоднозначно.

Пусть $F_{1} ( x ) , F_{2} ( x )$ – первообразные функции $f ( x )$, функция $r ( x )$ – функция разности первообразных, т.е. $r ( x ) = F_{1} ( x ) - F_{2} ( x )$. По определению первообразной $F_{1}^{'} ( x ) = f ( x )$, $F_{2}^{'} ( x ) = f ( x )$. Тогда $r^{'} ( x ) = F_{1}^{'} ( x ) - F_{2}^{'} ( x ) = f ( x ) - f ( x ) = 0$. Так как $r^{'} ( x )$ – это угловой коэффициент касательной к графику функции $y = r ( x )$, то эта касательная параллельна оси $O x$ на том промежутке, где $r^{'} ( x ) = 0$.

Поэтому графиком функции $y = r ( x )$ является прямая, параллельная оси $O x$, т.е. $r ( x ) = C$, где $C$ – константа. Получили, что $F_{1} ( x ) - F_{2} ( x ) = C$ откуда $F_{1} ( x ) = F_{2} ( x ) + C$. 

Рис. 1. Геометрический смысл первообразной

Вывод: если $F ( x )$ – первообразная функции $f ( x )$ на некотором промежутке, то все первообразные этой функции можно записать в виде $F ( x ) + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

 

Из только что сказанного вытекает геометрический смысл первообразной: графики функций $y = F ( x ) + C_{n}$, $n \in Z$ получаются из графика функции $y = F ( x )$ при помощи сдвига его вдоль оси $O y$ (рис. 1). Для того, чтобы выделить из совокупности первообразных функции $f ( x )$ какую-либо первообразную $F_{1} ( x )$, достаточно указать точку $A ( x_{0} ; y_{0} )$, через которую проходит график функции $y = F_{1} ( x )$.

Для функции $f ( x ) = \sin 2 x$ найти такую первообразную, график которой проходит через точку $\left(\frac{\pi}{2} ; 5\right)$.

Решение

Все первообразные данной функции находятся по формуле $F ( x ) = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$, т.к. 

$F^{'} ( x ) = \left(- \frac{1}{2} \cos 2 x + C\right)^{'} = - \frac{1}{2} \cdot ( - \sin 2 x ) \cdot 2 = \sin 2 x$. 

Найдем такое число $C$, чтобы график функции $y = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$ проходил через точку $\left(\frac{\pi}{2} ; 5\right)$. Если график функции проходит через точку, то ее координаты удовлетворяют уравнению, задающему функцию, т.е. подставим в $y = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$ вместо $x$ - $\frac{\pi}{2}$, вместо $y$ - $5$. Получим $5 = - \frac{1}{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C$, $C = \frac{9}{2}$.

Тогда искомая первообразная  $F ( x ) = - \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{9}{2}$. 

Ответ: $- \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{9}{2}$.

Для функции $f ( x ) = 4 - x^{2}$ найти такую первообразную, график которой проходит через точку $( - 3 ; 10 )$.