Конспект урока: Вычисление площадей с помощью интегралов

Рис. 1.

Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 1. Она представляет собой криволинейную трапецию. Поэтому воспользуемся формулой

$S = \int_{a}^{b} f ( x ) d x$

$S = \int_{- \frac{\text{п}}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x d x = \left.\sin x\right|_{- \frac{\text{п}}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} - \sin \left(- \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

Рис. 2.

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций вида, представленного на рисунке 2, но и плоских фигур более сложного вида.

Рис. 3.

Рассмотрим фигуру, ограниченную прямыми $x = a$, $x = b$ и графиками непрерывных функций $y = f ( x )$, $y = g ( x )$ такими, что на отрезке $[ a ; b \left]\right.$ выполняется условие $g ( x ) \leq f ( x )$ (рис. 3а).

Выполним параллельный перенос данной фигуры на m единиц вверх 
($m > 0$) так, чтобы данная фигура оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 3б).

Теперь эта фигура ограничена сверху и снизу графиками функций $y = f ( x ) + m$ и $y = g ( x ) + m$ соответственно. При этом обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке $[ a ; b \left]\right.$. Найдём площадь этой фигуры:

$S = S_{A B C D} = S_{a D C b} - S_{a A B b} = \int_{a}^{b} ( f ( x ) + m ) d x - \int_{a}^{b} ( g ( x ) + m ) d x =$

$= \int_{a}^{b} ( ( f ( x ) + m ) - ( g ( x ) + m ) ) d x = \int_{a}^{b} ( f ( x ) - g ( x ) ) d x$.

Таким образом, получили следующее правило: площадь $S$ фигуры, ограниченной прямыми $x = a$, $x = b$ и графиками функций $y = f ( x )$, $y = g ( x )$, непрерывных на отрезке $[ a ; b \left]\right.$ и таких, что для всех x из отрезка $[ a ; b \left]\right.$ выполняется неравенство $g ( x ) \leq f ( x )$, вычисляется по формуле

$S = \int_{a}^{b} ( f ( x ) - g ( x ) ) d x$.

Рис. 4.

Построим данную фигуру (рис. 4).

Воспользуемся формулой                                                                                                                                                           

$S = \int_{a}^{b} ( f ( x ) - g ( x ) ) d x$

$S = \int_{- 1}^{1} \left(\left(- \frac{1}{2} x + 2\right) - x^{3}\right) d x =$

$= \int_{- 1}^{1} \left(- x^{3} - \frac{1}{2} x + 2\right) d x = \left(\left.\left(- \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{4} + 2 x\right)\right|\right)_{- 1}^{1} =$

$= \left(- \frac{1^{4}}{4} - \frac{1^{2}}{4} + 2 \cdot 1\right) - \left(- \frac{( - 1 )^{4}}{4} - \frac{( - 1 )^{2}}{4} + 2 \cdot ( - 1 \right) =$

$= - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 2 = 4$.

Ответ: 4.

Рис. 5.

Построим данную фигуру (рис. 5) и найдём точки пересечения графиков функции, решив уравнение

$x^{2} + 2 x - 3 = - x^{2} + 2 x + 5$

$2 x^{2} = 8$

$x^{2} = 4$

$x_{1} = - 2 ; x_{2} = 2$.

Воспользуемся формулой

$S = \int_{a}^{b} ( f ( x ) - g ( x ) ) d x$

$S = \int_{- 2}^{2} \left(\left(- x^{2} + 2 x + 5\right) - \left(x^{2} + 2 x - 3\right)\right) d x = \int_{- 2}^{2} \left(- 2 x^{2} + 8\right) d x =$

$= \left(\left.\left(\frac{- 2 x^{3}}{3} + 8 x\right)\right|\right)_{- 2}^{2} = \left(\frac{- 2 \cdot 2^{3}}{3} + 8 \cdot 2\right) - \left(\frac{- 2 \cdot ( - 2 )^{3}}{3} + 8 \cdot ( - 2 \right) =$

$= - \frac{16}{3} + 16 - \frac{16}{3} + 16 = \frac{64}{3} = 21 \frac{1}{3}$.

Ответ: $21 \frac{1}{3}$.

Рис. 6.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^{2} - 4 x + 3$, $y = - x^{2} + 6 x - 5$.

4. На рисунке 6 изображён график некоторой функции $y = f ( x )$. Функция $F ( x ) = - x^{3} - 27 x^{2} - 240 x - 8$  — одна из первообразных функции $f ( x )$. Найдите площадь закрашенной фигуры.