- Криволинейная трапеция и ее площадь
- Интеграл
- Формула Ньютона-Лейбница
- Знать какую фигуру называют криволинейной трапецией, формулу вычисления площади криволинейной трапеции, определение интеграла, формулу Ньютона-Лейбница
- Уметь изображать криволинейную трапецию, находить площадь криволинейной трапеции
- Определение производной.
- Как называется операция нахождения производной функции? Первообразной функции?
- Сформулируйте определение трапеции.
- Сколько может быть первообразных у заданной функции?
- Как вычислить площадь фигуры $F$, если она разбита на две части $F_{1}$ и $F_{2}$?
- Найти все первообразные функций:
- $f ( x ) = \cos x$;
- $f ( x ) = x^{3}$;
- $f ( x ) = \frac{4}{x + 1}$;
- $f ( x ) = 4 \cos x + 5 \sin x$.
Рис.1. Криволинейная трапеция
К концу XVII века Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который лежит в основе математического анализа.
Рассмотрим фигуру, ограниченную снизу отрезком $[ a ; b \left]\right.$, сверху графиком непрерывной функции $f ( x )$ такой, что $f ( x ) \geq 0$ при $x \in [ a ; b \left]\right.$ и $x > 0$ при $x \in ( a ; b ) ,$ слева – отрезком прямой $x = a ,$ справа – отрезком прямой $x = b$. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Отрезок $[ a ; b \left]\right.$ называют основанием криволинейной трапеции (рис. 1).
Пример 1
Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = 2 + 2 \left|x\right|$, осью $O x$ и прямыми $x = - 2$ и $x = 1$.
Рис. 2. Криволинейная трапеция
Решение
В одной и той же системе координат построим графики функций $y = 2 + 2 \left|x\right|$, $x = - 2$, $x = 1$. Закрасим полученную область (рис. 2).
Упражнение 1
Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = - 2 x^{2} + 3 x$ и осью $O x$.
Рис. 3. Площадь криволинейной трапеции
Найдем площадь $S$ данной криволинейной трапеции (рис.1).
Возьмем произвольную точку $x$ из отрезка $[ a ; b \left]\right.$. Пусть $S ( x )$ – площадь криволинейной трапеции с основанием $[ a ; x \left]\right.$ (рис. 3). Если $x = a$, то отрезок $[ a ; x \left]\right.$ – точка и $S ( a ) = 0$. Если $x = b$, то $S ( x ) = S$.
Рассмотрим разность $S ( x + h ) - S ( x )$, $h > 0$ (в случае отрицательного $h$ аналогично). Эта разность – площадь криволинейной трапеции с основанием $[ x ; x + h \left]\right.$ (рис.3). Заметим, что длина стороны
$[ x ; x + h \left]\right.$ составляет $x + h - x = h$. Существует такая точка $c$ из $[ x ; x + h \left]\right.$, что эта площадь будет равна площади прямоугольника со сторонами $h$ и $f ( c )$, т.е. $S ( x + h ) - S ( x ) = h \cdot f ( c )$ (существование такой точки $c$ доказывается в курсе высшей математики).
Составим разностное отношение:
$\frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} = \frac{h \cdot f ( c )}{h}$,
$\frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} = f ( c )$.
Если $h \rightarrow 0$, то $c \rightarrow x$, $f ( c ) \rightarrow f ( x )$ (следует из непрерывности функции $f ( x )$). Получили, что $\frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} \rightarrow f ( x )$ при $h \rightarrow 0$, что по определению производной означает $S^{'} ( x ) = f ( x )$. Тогда $S ( x )$ – одна из первообразных функции $f ( x )$, совокупность первообразных для данной функции можно записать в виде
$F ( x ) = S ( x ) + C$.
Как уже было сказано выше, $S ( a ) = 0$ при $x = a$, тогда $F ( a ) = S ( a ) + C$, откуда $F ( a ) = C$.
При $x = b$ имеем $F ( b ) = S ( b ) + C$. Подставим в это выражение вместо $C$ - $F ( a )$ и выразим $S ( b )$: $S ( b ) = F ( b ) - F ( a )$. Так как $S ( b ) = S$, то искомую сумму $S$ криволинейной трапеции можно найти по формуле
$S = F ( b ) - F ( a )$,
где $F ( x )$ – одна из первообразных функции $f ( x )$.
Если $F ( x )$ – одна из первообразных функции $f ( x )$, то площадь криволинейной трапеции на $[ a ; b \left]\right.$, ограниченной снизу $[ a ; b \left]\right.$, сверху непрерывной функцией $f ( x )$, слева – отрезком прямой $x = a$, справа – отрезком прямой $x = b$, можно вычислить по формуле
$S = F ( b ) - F ( a )$ (1)
Разность $F ( b ) - F ( a )$ называют интегралом от функции $f ( x )$ на отрезке $[ a ; b \left]\right.$ и обозначают $\int_{a}^{b} f ( x ) d x$ (читается «интеграл от $a$ до $b$ эф от икс дэ икс), т.е.
$\int_{a}^{b} f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a )$ (2)
Формулу (2) называют формулой Ньютона-Лейбница.
Из формул (1) и (2) следует
$S = \int_{a}^{b} f ( x ) d x$ (3)
Пример 2
Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками $x = a$, $x = b$, осью $O x$ и графиком функции $y = f ( x )$:
- $f ( x ) = 4 x - x^{2}$, $a = 2$, $b = 4$;
- $f ( x ) = \cos^{2} x$, $a = \frac{3 \pi}{4}$, $b = \pi$.
Решение
1. Применив формулы (3) и (2), получим $S = \int_{2}^{4} ( 4 x - x^{2} ) d x = F ( 4 ) - F ( 2 )$, где $F \left(x\right)$ – одна из первообразных функции $f \left(x\right)$. $2 x^{2}$ и $\frac{x^{3}}{3}$ – первообразные функций $4 x$ и $x^{2}$ соответственно, тогда в качестве первообразной исходной функции можно взять $F ( x ) = 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3}$.
Найдем значения $F \left(x\right)$ при $x = 4$, $x = 2$. $F ( 4 ) = 32 - \frac{64}{3} = 10 \frac{2}{3}$, $F ( 2 ) = 8 - \frac{8}{3} = 5 \frac{1}{3} ,$ откуда $S = 10 \frac{2}{3} - 5 \frac{1}{3} = 5 \frac{1}{3} .$
2. Запишем функцию $\cos^{2} x$ в виде $\frac{1 + \cos 2 x}{2}$ и применим формулы (3) и (2).
$S = \int_{\frac{3 \text{п}}{4}}^{\pi} \left(\frac{1 + \cos 2 x}{2}\right) d x = \int_{\frac{3 \text{п}}{4}}^{\pi} \left(\frac{1}{2} + \frac{\cos 2 x}{2}\right) d x = F ( \pi ) - F \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$.
Первообразными функций $\frac{1}{2}$ и $\frac{\cos 2 x}{2}$ являются соответственно функции $\frac{1}{2} x$ и $\frac{1}{4} \sin 2 x$, тогда в качестве первообразной исходной функции можно взять $F ( x ) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x$. Вычислим значение выражения $F ( \pi ) - F \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$.
$F ( \pi ) - F \left(\frac{3 \pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.
Ответ: 1. $5 \frac{1}{3}$;
2. $\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.
Упражнение 2
Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками $x = a$, $x = b$, осью $O x$ и графиком функции $y = f ( x )$:
- $f ( x ) = \frac{2}{x^{2}}$, $a = \frac{1}{3}$, $b = 1$;
- $f ( x ) = \sin^{2} x$, $a = \frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{2}$.
Рис. 4. Криволинейная трапеция
Интеграл возник в связи с необходимостью вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим криволинейную трапецию с основанием $[ a ; b \left]\right.$, поделенным точками $x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{i} , \ldots , x_{n - 1}$ на $n$ отрезков (необязательно равных) (рис. 4). Проведем через них прямые, параллельные оси $O y$. На каждом из отрезков $\left[x_{i - 1} ; x_{i}\right]$ выберем точку $c_{i}$, пусть $\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}$.
Тогда площадь прямоугольника со сторонами $\Delta x_{i}$ и $f ( c_{i} )$ будет равна $f ( c_{i} ) \cdot \Delta x_{i}$, а площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников:
$S_{n} = f ( c_{1} ) \cdot \Delta x_{1} + f ( c_{2} ) \cdot \Delta x_{2} + \cdots + f ( c_{n} ) \cdot \Delta x_{n}$. (4)
Эту сумму называют интегральной суммой функции $f \left(x\right)$ на отрезке $[ a ; b \left]\right.$.
Будем увеличивать количество точек разбиения отрезка $[ a ; b \left]\right.$ так, чтобы наибольшая из длин отрезков $\left[x_{i - 1} ; x_{i}\right]$ стремилась к нулю. В курсе высшей математики доказывается, что для любой функции $f \left(x\right)$, непрерывной на отрезке $[ a ; b \left]\right.$ (необязательно неотрицательной) интегральные суммы (4) стремятся к некоторому числу, т.е. имеют предел, не зависящий от выбора точек $c_{i}$. Этот предел называют интегралом (определенным интегралом) от функции $f \left(x\right)$ на $[ a ; b \left]\right.$ и обозначают $\int_{a}^{b} f ( x ) d x$. Его значение вычисляют по формуле (2), где $F \left(x\right)$ – одна из первообразных функции $f \left(x\right)$ на $[ a ; b \left]\right.$.
Контрольные вопросы
- Что такое криволинейная трапеция?
- Что называют интегралом от функции $f ( x )$ на отрезке $[ a ; b \left]\right.$?
- В чем состоит геометрический смысл интеграла?
- Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
- Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $x = - 3$, $x = 1$, осью $O x$, графиком функции $y = f ( x )$?
Упражнение 1
Рис. 5.
Упражнение 2
- 4;
- $\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.