Конспект урока: Числовые выражения. Выражения с переменными

Рациональные числа

Изучая математику, вы уже встречались с различными видами чисел. Например, числа $1, 2 , 3 , . . . ,$ которые мы используем при счёте предметов и объектов, называют натуральными числами. Они образуют множество натуральных чисел и обозначаются буквой $N$. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел, которое обозначается буквой $Z$. Кроме целых вам известны дробные числа (положительные и отрицательные), например, $1,8 ;$ $\frac{5}{16} ;$ $- 1 \frac{2}{3}$. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел, которое обозначается буквой $Q$. 

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит некоторому множеству, используют знак $\in$. Например, утверждение, что число $6$ является натуральным (т. е. что число $6$ принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так: $6 \in N$. А то, что число $- 6$ не является натуральным, можно записать так: $- 6$ $\notin$ $N$.

Рис. 1 Цепочки включений

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: $N \subset Z$. Точно так же множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: $Z \subset Q$. Имеем цепочку включений: $N \subset Z \subset Q$. Соотношения между множествами принято иллюстрировать с помощью схем, называемых кругами Эйлера. 

Среди дробей, с помощью которых записывается рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима.

Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный $1$.

Представим в виде десятичной дроби число $\frac{1}{4}$. Для этого разделим числитель дроби на её знаменатель.

$\frac{1}{4} = 0,25$

Представим в виде десятичной дроби число $\frac{5}{37}$. Для этого разделим числитель дроби на её знаменатель.  Первый остаток – $13$. Второй остаток равен $19$, третий равен $5$. Затем мы опять получаем в остатке $13$, потом – $19$, и снова остаток $5$ и т. д. Сколько бы мы ни продолжали деление, мы не получим в остатке $0$. Значит, деление никогда не закончится. 

Говорят, что дробь $\frac{5}{37}$обращается в бесконечную десятичную дробь. Так как при делении числителя $5$ на знаменатель $37$ последовательно повторяются остатки $13$, $19$, и $5$, то в частном в одном и том же порядке будут повторяться три цифры: $1$, $3$, $5$. Бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими, а группа цифр, которые повторяются, составляют период дроби.

При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки:

$\frac{5}{37} = 0 , ( 135 )$

Эта запись читается так: нуль целых, сто тридцать пять в периоде.

Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. 

Например:

$2,6 = 2,6000 . . . ;$ $- 6 = - 6,000 . . . .$

Верно и обратное утверждение:

Например, $0 , ( 3 ) = \frac{1}{3}$; $2 , ( 36 ) = 2 \frac{4}{11}$.

Эти равенства легко проверить, выполнив деление. Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом $9$, которые считают другой записью дробей с периодом $0$.

$0 , ( 9 ) = 0,999 . . . = 1,000 . . . = 1 ;$ 

$16,1 ( 9 ) = 16,1999 . . . = 16,2000 . . . = 16,2$.

Бесконечные десятичные дроби с периодом $9$ заменяют дробями с периодом $0$. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом $9$.

Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка «ир» означает «отрицание»). 

Примеры иррациональных чисел:

$3,010010001 . . .$ (единицы разделяются последовательно одним, двумя, четырьмя и т. д. нулями);

$- 5,020022000222 . . .$ (число нулей и число двоек каждый раз увеличивается на единицу).

Иррациональным числом является число $\pi$, выражающее отношение длины окружности к её диаметру: 

$\pi = 3,1415926 \ldots$  .

Числовые выражения 

Представьте себе, что вы решили подарить лучшему другу на день рождения штатив для того, чтобы его видеоролики на ютубе стали ещё качественнее и интереснее. Штатив обошёлся вам в $1599$рублей, упаковка подарка — в $253$рубля, открытка — $24$рубля. Как узнать, сколько всего вы заплатили за такой подарок? 

$1599 + 253 + 24$ 

Всё верно, необходимо сложить стоимость штатива, упаковки и открытки. Только что мы составили с вами числовое выражение. Давайте посчитаем, сколько же стоит наш подарок?

$1599 + 253 + 24 = 1876$

Покупка будет стоить $1876$ рублей — это значение числового выражения.

Решение 

$16,3 - 2 \cdot ( 16,9 : 13 ) = 16,3 - 2 \cdot 1,3 = 16,3 - 2,6 = 13,7 .$

Ответ: $13,7$. 

Из курса математики прошлых лет мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, если при нахождении значения выражения встречается деление на нуль, о таком выражении говорят, что оно не имеет смысла.  

Решение

$\frac{26 - 18,3 \cdot 5}{3 \cdot 1,5 - 4,5} = \frac{26 - 18,3 \cdot 5 }{4,5 - 4,5} = \frac{26 - 18,3 \cdot 5}{0}$

Ответ: выражение не имеет смысла. 

Выражения с переменными 

Представьте себе, что вы решили поучаствовать в челлендже здорового образа жизни и провести неделю, ежедневно катаясь на велосипеде $2,5$ часа. Как узнать, какое расстояние вы проехали сегодня? Ещё с начальной школы мы знаем: чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. Тогда расстояние, которое мы проедем, можно найти по формуле $2,5 v$, где $v$ — скорость, с которой вы ехали. Только что мы с вами составили выражение с переменной, где $v$ и есть наша переменная. Скорость может менять своё значение, а время остаётся при этом фиксированным.  

Подставим значение переменной $k$ в выражение и найдём его значение.

$3,6 k - 2,3 = 3,6 \cdot 10 - 2,3 = 36 - 2,3 = 33,7$

Ответ: $33,7 .$

Мы узнали, что числовое выражение может не иметь смысла, если в нём встречается деление на нуль. Как тогда узнать, что выражение с переменными не имеет смысла? Всё просто: выражение с переменными не будет иметь смысла при определённом значении этой переменной.  

Решение

Чтобы выражение не имело смысла, в нём должно быть деление на нуль. Следовательно, необходимо найти такое значение $t$, при котором в знаменателе дроби будет получаться $0$. 

$t - 7 = 0$

$t = 7$

Ответ: $7$. 

Про рассмотренное выше выражение говорят, что при $t = 7$ оно не имеет смысла, а при $t \neq 7$ выражение имеет смысл. 

Некоторые выражения могут иметь смысл при всех значениях переменных, например, $x y + 4$, $( a + 1 ) ( a + 2 )$, $\frac{c^{3} - 1}{2}$.
 

Выражения с переменными применяются при записи формул. Например, формула чётного числа: $x = 2 k$, где $k$ — целые числа; формула нечётного числа: $x = 2 k + 1$, где $k$ — целые числа. Формула $x = 7 k$, $k$ — целые числа, задаёт числа, кратные $7$.

Решение 

Чтобы правильно прочесть выражения с переменными, нужно помнить правило: то действие, которые выполнялось бы последним, будет читаться первым. 

а) Если бы вместо переменных стояли числа, то первым действием было бы сложение, вторым — умножение. Поэтому данное выражение мы прочтём как «произведение числа $x$ и суммы чисел $a$ и $c$». 

б) Сумма частного чисел $a$ и $b$ и числа $x$. 

в) Произведение разности чисел $x$ и $y$ и их суммы. 

Упражнение 1

1. $0,8 ( 3 )$; $- 0,5 ( 3 )$; $- 1,075 ( 0 )$.

Упражнение 2

1. $1,7$;
2. $- 8,28$;

3. $90$.

Упражнение 3

1. $- 0,4$; $- 5$; $- 11,9$;

2. $1,6$.