Конспект урока: Умножение одночлена на многочлен

Умножение одночлена на многочлен

При умножении одночлена на многочлен необходимо уметь определять знак каждого члена многочлена, полученного при умножении, применять свойства степени, приводить подобные члены многочлена.

Выполните умножение $- 2 x ( x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 3 )$.

Решение

$- 2 x ( x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 3 ) =$

$= - 2 x \cdot x^{3} + ( - 2 x ) \cdot 3 x^{2} + ( - 2 x ) \cdot ( - 5 x ) + ( - 2 x ) \cdot ( - 3 ) =$

$= - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x$.

Обратите внимание, что запись может быть короче

$- 2 x ( x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 3 ) = - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x$.

Полезный совет. Удобно применять стрелки при умножении:

Решите уравнение $3 x ( x + 8 ) - 8 = 4 + 3 x^{2}$.

Решение

$3 x ( x + 8 ) - 8 = 4 + 3 x^{2}$,

$3 x^{2} + 24 x - 8 = 4 + 3 x^{2}$,

$3 x^{2} + 24 x - 3 x^{2} = 4 + 8$,

$24 x = 12$,

$x = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

Решите уравнение $\frac{2 x + 4}{5} - \frac{3 x + 1}{4} = 3$.

Решение

Умножим обе части уравнения на $20$ ($20$ – это наименьшее общее кратное для чисел $5$ и $4$, т. е. для знаменателей):

$\frac{2 x + 4}{5} \cdot 20 - \frac{3 x + 1}{4} \cdot 20 = 3 \cdot 20$,

$( 2 x + 4 ) \cdot 4 - ( 3 x + 1 ) \cdot 5 = 60$,

$8 x + 16 - 15 x - 5 = 60$,

$8 x - 15 x = 60 - 16 + 5$,

$- 7 x = 49$,

$x = - 7$.

Ответ: $- 7$.

1. Выполните умножение:

а) $2 x^{2} ( x^{3} - 3 x + 5 )$;

б) $4 a b ( 3 a - 2 a b + a^{2} b )$.

2. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) $7 m ( m^{2} - p^{2} ) - 7 m^{3}$;

б) $3 x ( x - y ) + 3 y ( x + y )$.

3. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $12 \cdot ( 2 - a ) - 6 ( a + 1 ) + 3 a$ при $a = \frac{1}{5}$;

б) $7 y ( y^{2} - 3 y ) - 4 y ( y^{2} + 2 y )$ при $y = - 1$.

4. Решите уравнение:

а) $8 ( x - 1 ) - 3 ( 2 - 7 x ) = 3 ( 3 x - 2 )$;

б) $4 x ( x + 5 ) - 8 x ( 0,5 x - 3 ) - 11 = 0$;

в) $\frac{9 - 5 x}{6} = \frac{1}{5}$.