- Правило деления дробей
- Применение правила деления дробей
- Уметь находить выражение, обратное данному
- Знать правило деления дробей
- Уметь выполнять преобразование в дробь частное двух дробей (в том числе, если делимое или делитель — многочлен)
- Назовите выражение, обратное данному: $\frac{2}{3} ; \frac{1}{7} ; \frac{x}{a} ; \frac{1}{x} ; - \frac{1}{a} ; \frac{x^{3}}{4} ; - \frac{x^{2}}{5}$.
- Вычислите: а)$\frac{1}{3} : \frac{2}{5}$; б)$\frac{2}{7} : \frac{5}{14}$; в)$- 10 : \frac{5}{3}$; г)$\frac{5}{6} : 3$.
Правило деления дробей
При делении обыкновенных дробей делимое умножают на дробь, обратную делителю, т. е. деление дробей сводится к умножению:
$\frac{3}{8} : \frac{5}{4} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.
Деление рациональных дробей выполняется так же:
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.
a, b, c, d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
Применение правила деления дробей
Рассмотрим несколько примеров применения правила деления дробей.
Пример 1
Выполните деление дробей: $\frac{46 x^{2} c}{15 a} : \frac{23 x c^{2}}{5 a^{2}} .$
Решение
Воспользуемся правилом деления дробей:
$\frac{46 x^{2} c}{15 a} : \frac{23 x c^{2}}{5 a^{2}} = \frac{46 x^{2} c}{15 a} \cdot \frac{5 a^{2}}{23 x c^{2}} = \frac{46 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot c \cdot a^{2}}{15 \cdot 23 \cdot a \cdot x \cdot c^{2}} = \frac{2 a x}{3 c} .$
Ответ: $\frac{2 a x}{3 c} .$
Пример 2
Выполните деление дробей: $\frac{a + b}{9 a^{2} b^{3}} : \frac{a^{2} - b^{2}}{27 a b^{2}}$.
Решение
$\frac{a + b}{9 a^{2} b^{3}} : \frac{a^{2} - b^{2}}{27 a b^{2}} = \frac{a + b}{9 a^{2} b^{3}} \cdot \frac{27 a b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a + b}{9 a^{2} b^{3}} \cdot \frac{27 a b^{2}}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{( a + b ) \cdot 27 a b^{2}}{9 a^{2} b^{3} \cdot ( a - b ) ( a + b )} =$
$= \frac{3}{a b ( a - b )} = \frac{3}{a^{2} b - a b^{2}} .$
Ответ: $\frac{3}{a^{2} b - a b^{2}}$
Пример 3
Разделим дробь $\frac{c^{2} + 6 c + 9}{c - 5}$на многочлен $c^{2} + 3 c$.
Решение
Для деления дроби на многочлен нужно, как и при умножении, записать многочлен в виде дроби со знаменателем 1. Затем применяется правило деления дробей:
$\frac{c^{2} + 6 c + 9}{c - 5} : ( c^{2} + 3 c ) = \frac{c^{2} + 6 c + 9}{c - 5} : \frac{c^{2} + 3 c}{1} = \frac{c^{2} + 6 c + 9}{c - 5} \cdot \frac{1}{c^{2} + 3 c} = \frac{( c + 3 )^{2}}{c - 5} \cdot \frac{1}{c ( c + 3 )} =$ $= \frac{( c + 3 )^{2}}{( c - 5 ) \cdot c ( c + 3 )} = \frac{c + 3}{c ( c - 5 )} = \frac{c + 3}{c^{2} - 5 c} .$
Ответ: $\frac{c + 3}{c^{2} - 5 c}$.
Упражнение 1
Выполните действия с дробями:
а)$\frac{16 t^{2} z}{7 x} : \frac{10 t z^{3}}{21 x^{2}} ;$ б)$\frac{x y + y^{2}}{9 x^{2}} : \frac{y^{2}}{3 x} ;$ в)$\frac{x^{2} - y^{2}}{9 y^{2}} : \frac{( x - y )^{2}}{27 y^{3}} ;$ г)$\frac{5 a}{a^{2} - b^{2}} : \frac{25 a^{3}}{( a - b )^{2}} ;$
д)$( m^{2} - n^{2} ) : \frac{3 m + 3 n}{7 m n} ;$ е)$\frac{81 a^{2} - 49 b^{2}}{a b} : ( 9 a - 7 b ) .$
Контрольные вопросы
1. Какое выражение будет обратное $\frac{y}{x}$?
2. Сформулируйте правило деления двух рациональных дробей?
3. Как необходимо преобразовать многочлен при делении на дробь?
Упражнение 1
а)$\frac{24 t x}{5 z^{2}}$; б)$\frac{x + y}{3 x y}$; в)$\frac{3 x y + 3 y^{2}}{x - y}$; г)$\frac{a - b}{5 a^{3} + 5 a^{2} b}$; д)$\frac{7 m^{2} n - 7 m n^{2}}{3}$; е)$\frac{9 a + 7 b}{a b}$.
