- Понятие рационального выражения
- Допустимые значения переменных
- Понятие рациональной дроби
- Знать определения целого выражения, дробного выражения, рационального выражения
- Уметь различать целые и дробные выражения
- Уметь находить допустимые значения переменных выражения
- Знать определение рациональной дроби
- Уметь находить значения рациональной дроби
- Уметь находить значения переменных, при которых рациональная дробь равна нулю
- Какие из выражений являются одночленами, а какие — многочленами?
$0,5 a^{2} b , 7 a^{2} + b , x^{2} + x y + y^{3} , - 75 x y^{3} z^{7} , x^{2} + 7 x - 9 , \frac{7}{9} a^{3} b^{6}$
- Представьте в виде многочлена:
а) $- 0,5 ( 4 - 2 a ) ;$ б)$( b + 3 ) ( b - 1 ) ;$в) $\left( a - 2 \right)^{2} ;$г) $\left( a + 1 \right)^{2} ;$д) $( 3 + b ) ( b - 1 )$
Понятие рационального выражения
В курсе алгебры 7 класса мы занимались различными преобразованиями одночленов и многочленов. Обобщим наши знания об алгебраических выражениях.
Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на число, отличное от нуля, называются целыми выражениями.
Таким образом, можно сделать вывод, что одночлены и многочлены являются целыми выражениями.
Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на выражение с переменными, называются дробными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Пример 1
Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?
$- \frac{1}{2} a^{3} + \frac{2}{3} ; ( x - y ) ( x + y ) ; 3 x : ( 5 y ) ; \left( 2 x \right)^{2} : 10 ; \frac{a + 5}{8} ; 4 a^{2 } - \frac{a}{2 a + 1} .$
Решение
Руководствуясь определениями целых и дробных выражений, ответим на поставленный вопрос.
Выражения $- \frac{1}{2} a^{3} + \frac{2}{3} ; ( x - y ) ( x + y ) ; \left( 2 x \right)^{2} : 10 ; \frac{a + 5}{8}$ отвечают определению целых выражений, т.к. содержат действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на число, отличное от нуля.
Выражения $3 x : ( 5 y ) ; 4 a^{2 } - \frac{a}{2 a + 1}$ отвечают определению дробных выражений, т.к. содержат действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на выражение с переменными.
Ответ: $- \frac{1}{2} a^{3} + \frac{2}{3} ; ( x - y ) ( x + y ) ; \left( 2 x \right)^{2} : 10 ; \frac{a + 5}{8}$ — целые выражения;
$3 x : ( 5 y ) ; 4 a^{2 } - \frac{a}{2 a + 1}$ — дробные выражения.
Упражнение 1
Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?
$b^{5} - \frac{b ( 3 b + c )}{7} ; 3 a^{2} - \frac{1}{4} a ; ( x + 2 ) ( x^{2} + 3 ) ; \frac{x^{2}}{x^{2} - 4} ; \left( x + 2 \right)^{2} : \left( x - 3 \right)^{2} .$
Допустимые значения переменных
Если в целое выражение вместо входящих в него переменных подставить конкретные числа, то мы получим некоторое числовое значение этого выражения. Это всегда возможно, так как все действия в целом выражении всегда выполнимы. Т.е. целые выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных.
Дробные же выражения при некоторых значениях переменных могут потерять смысл, так как действие деления не всегда выполнимо.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных, а множество всех таких чисел — областью допустимых значений переменных.
Пример 2
Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) $x^{2} - 6 x + 9 ;$ б) $\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 x \\ } ;$ в) $\frac{b - 4}{4 + b^{2}} ;$ г) $\frac{x^{2}}{x - 2} + \frac{x^{2} - 1}{x} .$
Решение
а) $x^{2} - 6 x + 9$ является целым выражением, поэтому допустимы любые значения переменной.
б) Выясним, при каких значениях переменной знаменатель дроби обращается в нуль. Для этого решим уравнение $x^{2} + 2 x = 0 \\ x ( x + 2 ) = 0 \\ x = - 2 ; x = 0 \\$
Допустимы все значения переменной, кроме $- 2$ и $0$.
в) Знаменатель дроби $4 + b^{2} \geq 4 ;$ поскольку квадрат числа неотрицателен, т.е. $b^{2} \geq 0 .$Таким образом, допустимы любые значения переменной.
г) $\frac{x^{2}}{x - 2} + \frac{x^{2} - 1}{x} .$ В данном выражении две дроби, поэтому рассматриваем знаменатель каждой дроби в отдельности. Получаем значения, при которых знаменатели равны нулю, $x = 0$ и $x = 2$.
Допустимы все значения переменной, кроме $0$ и $2$.
Ответ: а) любое число; б) все числа, кроме –2 и 0; в) любое число; г) все числа, кроме 0 и 2.
Упражнение 2
1. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) $x^{2} - 7 x + 8 ;$б) $\frac{3 a - 1}{2 a^{2} - 2} ;$в) $\frac{2 x}{x - 6} ;$г) $\frac{b^{2}}{b + 3} + \frac{5 b - 1}{b - 1} .$
2. Найдите значение дробного выражения:
а) $\frac{4 x - 3}{2 x + 1} \text{при х} = 1 ;$б) $\frac{2 a - 3 b}{2 a + 4 b} \text{при а} = 2 , b = 3 ;$в) $\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} - 4} \text{при х} = 0 ;$
г) $\frac{( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )}{4 - 9 x} \text{при х} = - 1 .$
Понятие рациональной дроби
Выражение вида $\frac{a}{b}$, как известно, называется дробью. Обозначение дроби $\frac{a}{b}$ впервые появилось в «Книге абака» (1202) итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180–1240), а широкое распространение в Европе данная запись получила после издания работ французского математика Франсуа Виета (1540–1603).
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.
Наиболее полно действия с рациональными дробями впервые были изложены во «Всеобщей арифметике» (1707) выдающегося ученого Исаака Ньютона (1643–1727).
В рациональной дроби допустимые значения переменных те, при которых знаменатель не обращается в нуль, т.к. на нуль делить нельзя.
Рациональная дробь равна нулю, когда она имеет смысл, а ее числитель равен нулю, т.е. $\frac{a}{b} = 0$, если $a = 0$ и $b \neq 0$.
Пример 3
Найдите значения переменной, при которых дробь $\frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 16}$ равна нулю.
Решение
Сначала выясним, при каких значениях переменной числитель равен нулю: $x^{2} - 4 x = 0 , \\ x ( x - 4 ) = 0 , \\ x = 0 ; x = 4 .$
Далее определим, при каких значениях переменной знаменатель не равен нулю: $x^{2} - 16 = ( x + 4 ) ( x - 4 ) , \\ x \neq - 4 ; x \neq 4 .$
Таким образом, дробь равна нулю при $x = 0$, т. к. $x = 4$ не входит в область допустимых значений.
Ответ: $0$.
Упражнение 3
Найдите значения переменной, при которых дробь равна нулю:
а) $\frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1} ;$б) $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} ;$в) $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} .$
Контрольные вопросы
1. Чем отличаются целые и дробные выражения?
2. Что такое допустимые значения переменной?
3. Дробь и дробное выражение это одно и то же?
4. Когда рациональная дробь равна нулю?
Упражнение 1
$b^{5} - \frac{b ( 3 b + c )}{7} ; 3 a^{2} - \frac{1}{4} a ; ( x + 2 ) ( x^{2} + 3 )$ — целые выражения; $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} ; \left( x + 2 \right)^{2} : \left( x - 3 \right)^{2}$ — дробные.
Упражнение 2
1. а) любое число; б) все числа, кроме $- 1$ и $1$; в) все числа, кроме 6; г) все числа, кроме –3 и 1.
2. а) $\frac{1}{3} ;$б) $- \frac{5}{16} ;$в) $- \frac{1}{4} ;$г) $- \frac{5}{13} .$
Упражнение 3
а) 0; б) –1; в) 2.
