- Правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями
- Применение правил сложения и вычитания дробей с разными знаменателями
- Знать правила сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями
- Уметь находить простейший наименьший общий знаменатель рациональных дробей
- Уметь преобразовывать в дробь сумму или разность рациональных дробей с разными знаменателями
- Уметь упрощать рациональные выражения, составленные из целых и дробных выражений с помощью действий сложения и вычитания
- Выполните действия:
а) $\frac{1}{2} - \frac{2}{3} ;$ б) $\frac{2}{45} - \frac{1}{9} ;$ в) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} .$
Правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого приводят данные дроби к наименьшему общему знаменателю, подбирая дополнительный множитель и используя основное свойство дроби.
Применение правил сложения и вычитания дробей с разными знаменателями
Рассмотрим примеры применения правил сложения и вычитания дробей с разными знаменателями на конкретных примерах.
Пример 1
Выполните сложение дробей $\frac{7}{6 x y} + \frac{5}{8 y^{2}}$.
Решение
Сначала приведём дроби к общему знаменателю. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен $24 x y^{2}$. Коэффициент одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей-слагаемых, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей.
$24 x y^{2} = 6 x y \cdot 4 y$, $24 x y^{2} = 8 y^{2} \cdot 3 x$
$\frac{7}{6 x y} + \frac{5}{8 y^{2}} = \frac{7 \cdot 4 y + 5 \cdot 3 x}{24 x y^{2}} = \frac{28 y + 15 x}{24 x y^{2}}$
Ответ: $\frac{28 y + 15 x}{24 x y^{2}} .$
Пример 2
Преобразуйте разность $\frac{b}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} - \frac{a + b}{b^{2} - a b} .$
Решение
Преобразуем знаменатели первой и второй дроби:
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = \left( a - b \right)^{2} , b^{2} - a b = b ( b - a ) = - b ( a - b ) .$
Наименьший общий знаменатель дробей, входящих в выражение, $b \left( a - b \right)^{2} :$
$b \left( a - b \right)^{2} = b \left(\cdot ( a - b \right)^{2} , b \left( a - b \right)^{2} = b \cdot ( a - b ) \cdot ( a - b ) .$
Таким образом,
$\frac{b}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} - \frac{a + b}{b^{2} - a b} = \frac{b}{\left( a - b \right)^{2}} - \frac{a + b}{b ( b - a )} = \frac{b}{\left( a - b \right)^{2}} + \frac{a + b}{b ( a - b )} =$
$= \frac{b^{2} + ( a - b ) ( a + b )}{b \left( a - b \right)^{2}} = \frac{b^{2} + a^{2} - b^{2}}{b \left( a - b \right)^{2}} = \frac{a^{2}}{b \left( a - b \right)^{2}} .$
Ответ: $\frac{a^{2}}{b \left( a - b \right)^{2}}$.
Упражнение 1
Выполните действия с дробями:
а)$\frac{a - 2}{2 a} + \frac{2 a + 1}{3 a} ;$
б)$\frac{1}{a^{2} + a b} + \frac{1}{a b + b^{2}} ;$
в)$\frac{x - y}{x y} - \frac{x - z}{x z} ;$
г)$\frac{x - 2 y}{x y^{2}} - \frac{2 x - y}{x^{2} y} .$
Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы и разности дробей.
Пример 3
Упростите выражение: $m - n + \frac{n^{2}}{m + n} .$
Решение
Представим выражение m — n в виде дроби со знаменателем 1 и выполним сложение дробей:
$m - n + \frac{n^{2}}{m + n} = \frac{m - n}{1} + \frac{n^{2}}{m + n} = \frac{( m - n ) ( m + n ) + n^{2}}{m + n} = \frac{m^{2} - n^{2} + n^{2}}{m + n} = \frac{m^{2}}{m + n} .$
Ответ: $\frac{m^{2}}{m + n}$.
Упражнение 2
Упростите выражение:
а)$x + 1 + \frac{1}{x - 1} ;$
б)$4 a - \frac{8 a^{2}}{2 a - 3} ;$
в)$\frac{6 b}{3 - b} - 2 b .$
Контрольные вопросы
1. К какому случаю сводится сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями? Что для этого необходимо выполнить?
2. Как необходимо преобразовать целое выражение, чтобы выполнить сложение или вычитание с дробным выражением?
Упражнение 1
а)$\frac{7 a - 4}{6 a} ;$
б)$\frac{1}{a b} ;$
в)$\frac{z - y}{y z} ;$
г)$\frac{x^{2} - 4 x y + y^{2}}{x^{2} y^{2}} .$
Упражнение 2
а) $\frac{x^{2}}{x - 1} ;$
б) $\frac{12 a}{3 - 2 a} ;$
в) $\frac{2 b^{2}}{3 - b} .$
