Конспект урока: Преобразование рациональных выражений

Преобразование рациональных выражений

Рациональное выражение $( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} ) \cdot \frac{5 x y^{2}}{x - y}$ представляет собой произведение разности рациональных дробей на дробь. Таким образом, преобразование данного рационального выражения сводится к разности дробей $\frac{x}{y} , \frac{y}{x}$ и умножению результата на $\frac{5 x y^{2}}{x - y} .$ Преобразование рациональных выражений можно свести к сложению, вычитанию, умножению, возведению в степень и делению рациональных дробей. 

Правила действий с дробями дают возможность представить любое рациональное выражение в виде рациональной дроби.

Преобразуйте рациональное выражение $a + b - \frac{2 a + b}{a} : \frac{2 a - b}{a^{2}}$ в рациональную дробь. 

Решение
 

1) $\frac{2 a + b}{a} : \frac{2 a - b}{a^{2}} = \frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{a^{2}}{2 a - b} = \frac{a ( 2 a + b )}{2 a - b}$;
 

2) $a + b - \frac{a ( 2 a + b )}{2 a - b} = \frac{a + b}{1} - \frac{a ( 2 a + b )}{2 a - b} = \frac{( a + b ) ( 2 a - b ) - a ( 2 a + b )}{2 a - b} \\ = \frac{2 a^{2} - a b + 2 a b - b^{2} - 2 a^{2} - a b}{2 a - b} = \frac{- b^{2}}{2 a - b} =$

$= \frac{b^{2}}{b - 2 a}$.

Можно это записать через знак равенства:
 

$a + b - \frac{2 a + b}{a} : \frac{2 a - b}{a^{2}} = a + b - \frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{a^{2}}{2 a - b} = \frac{a + b}{1} - \frac{a ( 2 a + b )}{2 a - b} =$

$= \frac{( a + b ) ( 2 a - b ) - a ( 2 a + b )}{2 a - b} = \frac{2 a^{2} - a b + 2 a b - b^{2} - 2 a^{2} - a b}{2 a - b} = \frac{- b^{2}}{2 a - b} = \frac{b^{2}}{b - 2 a}$.

Ответ: $\frac{b^{2}}{b - 2 a}$.

Упростите выражение $\left(\frac{4 x - 2}{4 x - 3} + 1\right) \cdot \frac{12 x - 9}{( 2 x - 1 ) ( 8 x - 5 )} + 3$.

Решение
 

Выполним преобразования по действиям: 
 

1) $\frac{4 x - 2}{4 x - 3} + 1 = \frac{4 x - 2}{4 x - 3} + \frac{1}{1} = \frac{4 x - 2 + 4 x - 3}{4 x - 3} = \frac{8 x - 5}{4 x - 3}$;
 

2) $\frac{8 x - 5}{4 x - 3} \cdot \frac{3 ( 4 x - 3 )}{( 2 x - 1 ) ( 8 x - 5 )} = \frac{( 8 x - 5 ) \cdot 3 ( 4 x - 3 )}{( 4 x - 3 ) \cdot ( 2 x - 1 ) ( 8 x - 5 )} = \frac{3}{2 x - 1}$;
 

3) $\frac{3}{2 x - 1} + 3 = \frac{3}{2 x - 1} + \frac{3}{1} = \frac{3 + 3 ( 2 x - 1 )}{2 x - 1} = \frac{3 + 6 x - 3}{2 x - 1} = \frac{6 x}{2 x - 1}$.

Ответ: $\frac{6 x}{2 x - 1}$.

Упростите выражение $\frac{a - \frac{4 a - 4}{a}}{\frac{2}{a} - 1}$.

Преобразования можно провести разными способами. Можно преобразовать отдельно числитель и знаменатель, а потом разделить первый результат на второй. А можно поступить по-другому — умножить числитель и знаменатель на a, воспользовавшись основным свойством дроби:
 

$\frac{a - \frac{4 a - 4}{a}}{\frac{2}{a} - 1} = \frac{a^{2} - \frac{4 a - 4}{a} \cdot a}{\frac{2}{a} \cdot a - a} = \frac{a^{2} - ( 4 a - 4 )}{2 - a} = \frac{a^{2} - 4 a + 4}{2 - a} = \frac{( 2 - a )^{2}}{2 - a} = 2 - a .$

Ответ: $2 - a$.

Выполните преобразования рациональных выражений:
 

а) $\left(\frac{3 x + 7 y}{6 x} + \frac{8 x - 3 y}{6 y}\right) \cdot \frac{12 x^{2} y}{7 y^{2} + 8 x^{2}}$; б) $\left(\frac{x + y}{x - y} - \frac{x - y}{x + y}\right) \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{4 x y}$; 

в) $\left(\frac{5 t}{4 t + 2} - \frac{t}{2 - 4 t}\right) : \frac{9 t^{2} - 3 t}{1 - 4 t + 4 t^{2}}$; 

г) $\left(\frac{3 a}{a - 1} + 1\right) : \left(a - \frac{3 a^{2}}{1 - a}\right)$;  д)$\left(\frac{a b + b^{2}}{5 a^{2} - 5 a b} + a b + b^{2}\right) \cdot \frac{5 a}{a + b} - \frac{b}{a - b}$; 

е) $\frac{1 - \frac{3}{c}}{\frac{6 c - 9}{c} - c}$.

Формула среднего гармонического ряда положительных чисел

По кольцевому маршруту поселок А — станция B — поселок С — поселок А ходит автобус. Каждый участок пути имеет одинаковую длину. Участок поселок А — станция B автобус прошёл со скоростью $v_{1}$ км/ч. Участок станция B — поселок С со скоростью $v_{2}$ км/ч. Участок поселок С — поселок А со скоростью $v_{3}$ км/ч. Выясните, какой была средняя скорость автобуса на всём пройденном им пути.
 

Решение

Обозначим длину каждого участка пути s км.  Тогда на путь AB автобус затратил $\frac{s}{v_{1}} \text{ч}$, на путь BС — $\frac{s}{v_{2}} \text{ч}$, на путь СА —  $\frac{s}{v_{3}} \text{ч}$. Полный путь $3 \text{sкм}$.  Можем найти среднюю скорость $v_{c p}$ автобуса на всём пути:
 

$v_{c p} = \frac{3 s}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}} + \frac{s}{v_{3}}}$.
 

Сократим эту дробь на s и получим:

$v_{c p} = \frac{3}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}}}$.
 

Ответ: $\frac{3}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}}}$.

Каждый участок пути одинаковой длины, а скорость на каждом участке разная. В результате, средняя скорость в этой задаче равна не среднему арифметическому скоростей. Она вычисляется по формуле, которую называют формулой среднего гармонического трех чисел. 

В случае двух участков пути одинаковой длины средняя скорость вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел: 
 

$v_{c p} = \frac{2}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}}}$,
 

где $v_{1} , v_{2}$  — скорости на этих участках.
 

В случае четырёх участков пути одинаковой длины средняя скорость вычисляется по формуле среднего гармонического четырех чисел: 
 

$v_{c p} = \frac{4}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}} + \frac{1}{v_{4}}}$,
 

где $v_{1} , v_{2} , v_{3 ,} v_{4}$  — скорости на этих участках.

Эту формулу можно записать в другом виде:
 

$\frac{1}{a_{c p}} = \frac{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . . + \frac{1}{a_{n}}}{n}$.
 

При такой записи видно, что величина, обратная среднему гармоническому ряда чисел, равна среднему арифметическому чисел, им обратных.

1. Почему любое рациональное выражение можно представить в виде многочлена или рациональной дроби?

2. С помощью какой формулы можно найти среднюю скорость движения объекта, если путь состоит из нескольких участков одинаковой длины, на каждом из которых скорость объекта разная?