Конспект урока: Бином Ньютона

Большое количество выдающихся ученых внесли свой вклад в развитие комбинаторики. Одним из них был Исаак Ньютон и его бином. Часто это понятие употребляют в литературе, в повседневной жизни. Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: «Тоже мне бином Ньютона!», т.е. что вот бином Ньютона — это сложно, а у тебя что за проблемы. Так что же это за формула? В теории многочленов часто двучлены называют биномами. 

Пусть дан бином $a + b ( ( a + b ) \neq 0 )$. Рассмотрим его целые неотрицательные степени:

$\left( a + b \right)^{0} = 1$,

$\left( a + b \right)^{1} = 1 \times a + 1 \times b$,

$\left( a + b \right)^{2} = 1 \times a^{2} + 2 a b + 1 \times b^{2}$,

$\left( a + b \right)^{3} = 1 \times a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 \times b^{3}$,

$\left( a + b \right)^{4} = \left( a + b \right)^{3} \left( a + b \right)^{1} = 1 \times a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 \times b^{4}$,

$\left( a + b \right)^{5} = \left( a + b \right)^{4} \left( a + b \right)^{1} = 1 \times a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 \times b^{5}$, 

и т. д..

Таким образом можно доказать следующую формулу

Рис. 1. Фрагмент треугольника Паскаля

Для биномиальных коэффициентов $C_{m}^{n}$ на основании рекуррентного свойства числа сочетаний

 

$C_{m}^{n} + C_{\mathit{m}}^{\mathit{n} + 1} = C_{\mathit{m} + 1}^{\mathit{n} + 1}$ 

 

и с учетом, что $C_{m}^{0} = C_{m}^{n} = 1$ можно составить таблицу их значений, которую называют треугольником Паскаля (Рис.1). 

 

Найдем биномиальные коэффициенты при $m = 4$: в предыдущей строке коэффициенты 
$1$, $3$, $3$, $1$, первую и последнюю единицы оставляем на своих местах, т. е. первым и последним коэффициентом будут единицы, и все коэффициенты последовательно складываем друг с другом, т. е. на втором месте — $1 + 3 = 4$, на третьем — $3 + 3 = 6$, на четвертом — $3 + 1 = 4$, получили коэффициенты $1$, $4$, $6$, $4$, $1$.

 

При $m = 6$: коэффициенты предыдущей строки $1$, $5$, $10$, $10$, $5$, $1$, тогда получаем 

 

$1 ; 1 + 5 = 6 ; 5 + 10 = 15 ; 10 + 10 = 20 ; 10 + 5 = 15 ; 5 + 1 = 6 ; 1$.

 

Треугольник Паскаля наглядно иллюстрирует свойство числа сочетаний $C_{m}^{n} = C_{m}^{m - n}$. Его можно сформулировать так: числа, одинаково удаленные от концов строки треугольника Паскаля, равны.

 

Вообще, при записи разложения степени бинома, нужно следить за соблюдением следующих моментов:

 

1. В полученном многочлене членов на единицу больше показателя степени бинома, т. е. если степень бинома $m$, то членов $m + 1$.

2. Показатели степени первого слагаемого последовательно убывают на единицу от $m$ до $0$, а показатели второго слагаемого последовательно возрастают на единицу от $0$ до $m$.

3. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения по формуле (1) равны между собой.

Записать разложение бинома $\left( 3 x - 2 \right)^{5}$.

Решение

Запишем выражение $\left( 3 x - 2 \right)^{5}$ в виде $\left( 3 x + ( - 2 ) \right)^{5}$ и применим формулу (1):

$( 3 x + \left( - 2 ) \right)^{5} = C_{5}^{0} \left( 3 x \right)^{5} + C_{5}^{1} \left( 3 x \right)^{4} ( - 2 ) + C_{5}^{2} \left( 3 x \right)^{3} \left( - 2 \right)^{2} + C_{5}^{3} \left( 3 x \right)^{2} \left( - 2 \right)^{3} +$ 

$+ C_{5}^{4} ( 3 x ) \left( - 2 \right)^{4} + C_{5}^{5} \left( - 2 \right)^{5} = 243 x^{5} + 5 \times 81 x^{4} ( - 2 ) + 10 \times 27 x^{3} \times 4 +$

$+ 10 \times 9 x^{2} ( - 8 ) + 5 \times 3 x \times 16 - 32 = 243 x^{5} - 810 x^{4} + 1 080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x - 32$.  

Ответ: $243 x^{5} - 810 x^{4} + 1 080 x^{3} - 720 x^{2} + 240 x - 32$.

Возвести в степень $\left( 2 - \sqrt{3} \right)^{5}$.

Решение

Запишем выражение $\left( 2 - \sqrt{3} \right)^{5}$ в виде $\left( 2 + ( - \sqrt{3} ) \right)^{5}$ и применим формулу (1):

$\left( 2 + ( - \sqrt{3} ) \right)^{5} = C_{5}^{0} \times 2^{5} + C_{5}^{1} \times 2^{4} ( - \sqrt{3} ) + C_{5}^{2} \times 2^{3} \left( - \sqrt{3} \right)^{2} + C_{5}^{3} \times 2^{2} \left( - \sqrt{3} \right)^{3} +$

$+ C_{5}^{4} \times 2 \left( - \sqrt{3} \right)^{4} + C_{5}^{5} \left( - \sqrt{3} \right)^{5} = 32 - 5 \sqrt{3} \times 16 + 10 \times 8 \times 3 -$

$- 10 \times 4 \times 3 \sqrt{3} + 10 \times 9 - 9 \sqrt{3} = 362 - 209 \sqrt{3}$.  

Ответ: $362 - 209 \sqrt{3}$.

Найти член разложения $\left( x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} \right)^{20}$, содержащий $x^{5}$.

Решение

Общий член разложения двадцатой степени бинома $x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ имеет вид $C_{20}^{n} \left( x^{- \frac{1}{2}} \right)^{20 - n} \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^{n}$. 

Для того, чтобы некоторый член разложения содержал $x^{5}$ необходимо выполнение равенства $\left( x^{- \frac{1}{2}} \right)^{20 - n} \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^{n} = x^{5}$. Упростим выражение в левой части равенства. 

$\left( x^{- \frac{1}{2}} \right)^{20 - n} \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^{n} = x^{- 10 + \frac{5}{6} n}$, 

т. е. нужно решить уравнение $x^{- 10 + \frac{5}{6} n} = x^{5}$, откуда $- 10 + \frac{5}{6} n = 5$, $n = 18$.

При $n = 18$ имеем $C_{20}^{18} = \frac{20 !}{18 ! \times 2 !} = 190$.

Ответ: $190 x^{5}$.

1. Записать разложение бинома $\left( 2 - a \right)^{6}$.

2. Возвести в степень $\left( 1 + \sqrt{6} \right)^{4}$.

3. Найти член разложения $\left( c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{2}} \right)^{14}$, содержащий $c^{6}$.

Упражнение 

1. $64 - 192 a + 240 a^{2} - 160 a^{3} + 60 a^{4} - 12 a^{5} + a^{6}$.

2. $73 + 28 \sqrt{6}$.

3. $1 001 c^{6}$.