Конспект урока: Вероятность события

Классическое определение вероятности

Если все исходы некоторого случайного эксперимента имеют равные шансы наступить, то их называют равновозможными. Чаще всего равновозможность исходов следует из условий проведения опыта и симметрии тех объектов, которые в них участвуют. Примером случайного эксперимента с равновозможными исходами является подбрасывание игрального кубика. Исходом данного опыта является выпадение определённого числа. Множеством всех исходов этого испытания является множество {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Уверенность в том, что все эти исходы равновозможны, возникает из-за симметрии и однородности кубика. Каждая из шести граней ничем не лучше (и не хуже) любой из пяти оставшихся.

Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из $n$ равновозможных исходов. Пусть ровно $m$ из них благоприятствуют (т.е. приводят к наступлению) случайного события $A$. Тогда вероятность этого события может быть вычислена по формуле:

$P \left(A\right) = \frac{m}{n}$, где $m \leq n$ (1).

Вероятностью $P \left(A\right)$ события $A$ в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов $m$, благоприятствующих событию $A$, к числу $n$ всех исходов испытания.

Очевидно, что вероятность наступления каждого элементарного события в испытании с n равновозможными исходами равна $\frac{1}{n}$ . В рассмотренном примере появление одного из шести чисел {1; 2; 3; 4; 5; 6} после бросания кубика равна $\frac{1}{6}$. Найдём вероятность, что после бросания кубика выпадет чётное число. Выпадению чётного числа благоприятствуют 3 равновозможных исхода {2; 4; 6}. Общее число всех равновозможных исходов равно 6. Поэтому $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Из классического определения вероятности следует:

1. $0 \leq P \left(A\right) \leq 1$;
2. $P \left(V\right) = 0$, где $V$— невозможное событие;
3. $P \left(U\right) = 1$, где $U$ — достоверное событие.

Несмотря на простоту формулы классической вероятности, при её использовании возникают два непростых вопроса:

1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможными, и можно ли это сделать вообще?
2. Как найти числа $m$ и $n$?

Если в опыте участвуют несколько предметов, равновозможные исходы увидеть не всегда просто.

Великий французский философ и математик Даламбер вошёл в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте с двумя монетами.

Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Неправильное решение (ошибка Даламбера):

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1. обе монеты упадут на «орла»;
2. обе монеты упадут на «решку»;
3. одна монета упадёт на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятствующими для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна $\frac{2}{3}$.

Правильное решение:

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1. первая монета упадёт на «орла», вторая тоже на «орла»;
2. первая монета упадёт на «решку», вторая тоже на «решку»;
3. первая монета упадёт на «орла», вторая – на «решку»;
4. первая монета упадёт на «решку», вторая – на «орла».

Из них благоприятствующими для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Даламбер совершил одну из самых распространённых ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам опыта.

Из коробки, в которой 2 белых и 2 чёрных шара, вытаскивают 2 шара. Какова вероятность, что они окажутся одного цвета?

Решение

В коробке 4 шара. Чтобы не совершить ошибку, подобную ошибке Даламбера, введём для каждого шара уникальное обозначение: Б1, Б2, Ч1, Ч2 (Б и Ч означают белый и чёрный соответственно). Будем считать, что шары вынимаются одновременно. Тогда результатом одновременного вытаскивания двух шаров могут быть следующие исходы:

1) Б1 Б2; 2) Б1 Ч1; 3) Б1 Ч2; 4) Б2 Ч1; 5) Б2 Ч2; 6) Ч1 Ч2.

Таким образом, $n = 6$. Благоприятными для рассматриваемого события являются 1-й и 6-й исходы, т.е. 

$m = 2 \Rightarrow P \left(A\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,

где $A$ — вынутые шары будут одного цвета.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

При решении этой задачи можно было бы считать, что шары вынимаются не одновременно, а друг за другом. Тогда порядок записи вынимаемых шаров имел бы значение. Например, Б1 Б2 и Б2 Б1 – это разные исходы. В этом случае общее число исходов $n = 12$, а число благоприятствующих исходов $m = 4$. В итоге $P \left(A\right) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Из коробки, в которой 3 белых и 4 чёрных шара, вытаскивают 2 шара. Какова вероятность следующих событий:

A – оба вынутых шара белого цвета;

B – оба вынутых шара чёрного цвета;

C – вынутые шары разного цвета.

Решение:

Общее число исходов в данном испытании можно найти как число сочетаний из 7 по 2.

$n = C_{7}^{2} = \frac{7 !}{5 ! \cdot 2 !} = 21$.

Число исходов, благоприятствующих событию A равно числу сочетаний из 3 по 2.

$m_{1} = C_{3}^{2} = \frac{3 !}{1 ! \cdot 2 !} = 3$.

Число исходов, благоприятствующих событию B равно числу сочетаний из 4 по 2.

$m_{2} = C_{4}^{2} = \frac{4 !}{2 ! \cdot 2 !} = 6$.

Так как любой из трёх белых шаров можно комбинировать с любым из четырёх чёрных, то число исходов, благоприятствующих событию С равно произведению $3 \cdot 4$.

$m_{3} = 3 \cdot 4 = 12$.

Получим:

$P \left(A\right) = \frac{3}{21} = \frac{1}{7} ; P \left(B\right) = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} ; P \left(C\right) = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $P \left(A\right) = \frac{1}{7} ; P \left(B\right) = \frac{2}{7} ; P \left(C\right) = \frac{4}{7}$.

1. Для лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
2. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет более 4 очков?
3. Ученик записал в тетради произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?
4. Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов?