- Размещения из $m$ элементов по $n$ элементов;
- Применение формулы числа размещений при решении задач.
- Знать, что такое размещения из $m$ элементов по $n$ элементов;
- Знать вывод формулы для числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов;
- Знать формулы для числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов в случаях, когда $m = n$ и когда $m \neq n$;
- Уметь применять формулу для числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов при решении задач.
- Вычислить $\frac{20 !}{16 ! \times 4 !}$.
- Решить уравнение $( 2 n - 3 ) ! = 23 ( 2 n - 4 ) !$, если $n \in N$.
- Из четырех цифр $1$, $3$, $5$, $9$ составили всевозможные варианты трехзначных чисел. Сколько существует таких вариантов? Сколько при этом получится чисел, кратных пяти?
- Формула перестановки из $n$ элементов.
Пусть перед нами стоит задача: сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр $2$, $4$, $6$, $8$ при условии, что одинаковых цифр в записи числа не будет?
Решим эту задачу двумя способами. Первый из них — метод перебора, возможны варианты: $24$, $26$, $28$, $46$, $48$, $42$, $68$, $86$, $84$, $64$, $82$, $62$, всего их 12. Второй способ — по правилу произведения: на первом месте может стоять любая из четырех цифр, на втором месте, при условии, что цифры не повторяются, — любая из трех оставшихся, поэтому всего вариантов $4 \times 3 = 12$.
При решении этой задачи из данных четырех цифр были образованы всевозможные соединения по два элемента в каждом, любые два соединения отличались либо составом элементов ($24$ и $26$), либо их порядком ($26$ и $62$). Такие соединения называются размещениями.
Размещениями из $m$ элементов по $n$ элементов $( n \leq m )$ называются такие соединения, каждое из которых содержит $n$ элементов, взятых из данных $m$ различных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.
Обозначается число всевозможных размещений из $m$ элементов по $n$ элементов $A_{m}^{n}$ и читают «А из эм по эн».
Выведем формулу для вычисления числа всевозможных размещений из $m$элементов по $n$ элементов, т. е. для $A_{m}^{n}$.
Пусть есть $m$ различных элементов.
Число размещений из одного элемента, выбранного из $m$ элементов, равно $m$,
т. е. $A_{m}^{1} = m$.
Составим размещения из $m$ элементов по 2, для этого к каждому уже имеющемуся размещению из $m$ элементов по 1 добавим по одному из оставшихся $( m - 1 )$элементов. Тогда количество таких соединений будет
$A_{m}^{1} \times ( m - 1 )$, т.е.
$A_{m}^{2} = m ( m - 1 )$.
Составим теперь размещения из $m$ элементов по 3, для этого к каждому уже имеющемуся размещению из $m$ элементов по 2 добавим по одному из оставшихся $( m - 2 )$ элементов. Тогда количество таких соединений будет
$A_{m}^{2} \times ( m - 2 )$, т. е
$A_{m}^{3} = m ( m - 1 ) ( m - 2 )$.
Продолжая таким образом дальше (применяя правило произведения), для любого $n \leq m$ получим
$A_{m}^{n} = m ( m - 1 ) \times ( m - 2 ) \times . . . \times ( m - ( n - 1 ) )$. (1)
Правая часть формулы (1) содержит произведение $n$ последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно $m$.
Перепишем формулу (1) в виде
$A_{m}^{n} = ( m - n + 1 ) ( m - n + 2 ) \times . . . \times ( m - 1 ) m$.
Умножим обе части равенства на $( m - n ) ! = 1 \times 2 \times 3 \times . . . \times ( m - n )$ и упростим выражение:
$( m - n ) ! \times A_{m}^{n} = 1 \times 2 \times 3 \times . . . \times ( m - n ) ( m - n + 1 ) ( m - n + 2 ) \times . . . \times ( m - 1 ) m$
$( m - n ) ! \times A_{m}^{n} = m !$, тогда $A_{m}^{n} = \frac{m !}{( m - n ) !}$.
Пусть в (1) $m = n$, тогда $A_{n}^{n} = n ( n - 1 ) \times ( n - 2 ) \times . . . \times 2 \times 1 = P_{n}$, т. е. число размещений из $n$ элементов по $n$ элементов равно количеству перестановок из $n$ элементов.
Размещения из $m$ элементов по $n$ элементов $( n \leq m )$ вычисляют по формулам
$A_{m}^{n} = \frac{m !}{( m - n ) !}$ (2)
$A_{n}^{n} = P_{n}$ (3)
Пример 1
Вычислить $\frac{A_{15}^{8} + A_{15}^{7}}{A_{15}^{6}}$.
Решение
Применим формулу (2): $\frac{\frac{15 !}{7 !} + \frac{15 !}{8 !}}{\frac{15 !}{6 !}} = \frac{6 !}{7 !} + \frac{6 !}{8 !} = \frac{1}{7} + \frac{1}{56} = \frac{9}{56}$.
Ответ: $\frac{9}{56}$.
Пример 2
Сколько существует способов обозначения вершин четырехугольной пирамиды с помощью букв A, B, C, D, E, F.
Решение
Даны 6 букв. В четырехугольной пирамиде должны быть обозначены 4 вершины четырехугольника, лежащего в основании пирамиды и 1 вершина пирамиды. Порядок имеет значение. Тогда задача свелась к нахождению числа размещений из 6 элементов по 5, т. е. $A_{6}^{5} = \frac{6 !}{1 !} = 720$.
Ответ: $720$ способов.
Пример 3
На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете $4 \times 100$ м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Решение
Задача сводится к подсчету упорядоченных четверок участников, выбираемых из 10 человек, т. е.
$A_{10}^{4} = \frac{10 !}{6 !} = 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 5 040$.
Ответ: $5 040$.
Упражнение
1. Полина купила в книжном магазине 7 книг, но потом поняла, что за один месяц сможет прочесть только 4 книги в любой последовательности. Сколькими способами она может выбрать эти 4 книги?
2. У Никиты есть 6 различных конвертов и 4 марки. Сколькими способами можно наклеить эти марки на 4 конвертах из 6 имеющихся (по одной на каждый конверт)?
Контрольные вопросы
1. Что называют размещениями из $m$ элементов по $n$ элементов?
2. Назовите формулу для вычисления числа размещений из $m$ элементов по $n$ элементов.
3. В каком случае вместо формулы для числа размещений из $m$элементов по $n$ элементов применяют формулу для числа перестановок из $n$ элементов?
1. $840$.
2. $60 \times 10 !$.
3. $360$.
