- Перестановки;
- Применение формулы перестановки при решении задач.
- Знать, что такое $n !$;
- Знать, что такое перестановка из $n$ элементов;
- Знать формулу числа перестановок из $n$ элементов;
- Уметь вычислять $n !$;
- Уметь применять формулу числа перестановок из $n$ элементов при решении задач.
- Сколько различных двухзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр $4$, $5$, $6$?
- Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр $1$, $0$, $3$, если цифры могут повторяться?
- В компьютере каждый символ (буква, цифра, специальный знак) кодируется последовательностью из 8 нулей и единиц ($0$ и $1$). Сколько различных символов можно закодировать таким образом?
Часто на практике возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, нужно рассадить $n$ человек на $n$ мест или приписать каждому человеку порядковый номер. Первый человек может выбрать любое из $n$ мест, второй — из $( n - 1 )$ оставшихся мест, третий — из $( n - 2 )$ мест, …, предпоследний человек выбирает из двух мест, последний человек получает последнее место.
Произведение всех целых чисел от $1$ до $n$ включительно обозначают $n !$
$n ! = 1 \times 2 \times 3 \times . . . \times ( n - 2 ) \times ( n - 1 ) \times n$
Например, $4 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$; $7 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5 040$.
Установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов.
Перестановками из $n$ элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же $n$ элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.
Число перестановок из $n$ элементов обозначают $P_{n}$ и вычисляют по формуле
$P_{n} = n !$
Пример 1
Найти значение выражения $\frac{7 ! \times 4 !}{9 !}$.
Решение
Так как $9 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9$, а $7 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7$, то $9 !$можно представить как $7 ! \times 8 \times 9$.
$\frac{7 ! \times 4 !}{9 !} = \frac{7 ! \times 1 \times 2 \times 3 \times 4}{7 ! \times 8 \times 9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.
Пример 2
Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом.
Решение
Будем считать две книги одного автора единой книгой, «склеим» их. Количество способов расстановки полученных 7 книг на полке равно числу перестановок из 7 элементов $P_{7} = 7 !$. Количество перестановок «склеенных» элементов $P_{2} = 2 !$. Тогда общее число способов расстановки книг на одной полке
$7 ! \times 2 ! = 10 080$ способов.
Ответ: $10 080$ способов.
Пример 3
Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами могут занять эти 4 места в кинотеатре?
Решение
Четыре разных друга могут занять четыре разных места в кинотеатре в количестве равном количеству перестановок $P_{4} = 4 ! = 24$.
Ответ: $24$.
Упражнение
1. Сколькими способами можно разместить 6 различных автомобилей в семи одноместных боксах?
2. У мамы и папы одна дочь. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если:
а) место хозяина дома неприкосновенно;
б) первыми садятся мужья и они садятся рядом?
3. Сколько различных семизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно составить с помощью цифр $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ так, чтобы:
а) последней была цифра $2$;
б) последней была цифра $3$, а первой — цифра $5$?
Контрольные вопросы
1. Что называют перестановкой из $n$ элементов?
2. По какой формуле находят число перестановок из $n$ элементов?
Упражнение
1. $5 040$.
2. а) $120$. б) $288$.
3. а) $720$. б) $120$.
