- Умножение рациональных чисел
- Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел
- Коэффициент
- Знать правила умножения рациональных чисел, свойства умножения рациональных чисел, понятие «коэффициент»
- Уметь умножать рациональные числа, использовать свойства умножения для упрощения вычислений, находить коэффициент в буквенном выражении
- Как сложить два отрицательных числа?
- Как найти сумму чисел с разными знаками?
- Сформулируйте правило вычитания рациональных чисел
Умножение рациональных чисел
Умножение натуральных чисел можно представить в виде сложения:
$4 \cdot 3 = 4 + 4 + 4 = 12$
Представим произведение в виде суммы слагаемых:
$- 4 \cdot 3 = - 4 + ( - 4 ) + ( - 4 ) = - 12$
Для положительных чисел выполняется переместительное свойство умножения, оно же верно и для любых рациональных чисел:
$- 4 \cdot 3 = 3 \cdot ( - 4 ) = - 12 .$
Так как $12$ и $- 12$ — противоположные числа, то произведение чисел $4 \cdot 3$ будет противоположным произведению $- 4 \cdot 3$, оно же будет противоположным и для $3 \cdot ( - 4 )$.
$- 4 \cdot 3 = - ( 4 \cdot 3 ) = - 12$
$3 \cdot ( - 4 ) = - ( 3 \cdot 4 )$
Значит в каждом случае мы получим отрицательное значение произведения.
Обратим внимание на запись $3 \cdot ( - 4 )$. Так как нельзя подряд записать два знака действий, число $– 4$ заключают в скобки.
Правило умножения чисел с разными знаками
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «–».
Видим, что произведения $4 \cdot 3$, $- 4 \cdot 3$ и $4 \cdot ( - 3 )$ отличаются только знаками. Значит изменение знака у одного множителя меняет знак у всего произведения.
А что будет, если поменять знаки у обоих множителей? Тогда знак произведения изменяется дважды, т.е., по сути, остается тем же. Получается, что, умножая отрицательные числа, фактически мы перемножаем их модули, не обращая внимания на знаки:
$- 3 \cdot ( - 4 ) = | - 3 | \cdot | - 4 | = 3 \cdot 4 = 12 .$
Правило умножения отрицательных чисел
Чтобы умножить два отрицательных числа, нужно умножить их модули.
$- 1,3 \cdot ( - 5 ) = | - 1,3 | \cdot | - 5 | = 1,3 \cdot 5 = 6,5 .$
$- \frac{2}{3} \cdot ( - \frac{4}{5} ) = | - \frac{2}{3} | \cdot | - \frac{4}{5} | = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15} .$
Вы знаете, что при умножении числа на $1$ оно не меняется. А если мы умножим на $- 1$, то по правилу мы должны поменять знак, т.е. получить противоположное число.
$b \cdot 1 = 1 \cdot b = b$
$b \cdot ( - 1 ) = ( - 1 ) \cdot b = - b$
$b \cdot 0 = 0 \cdot b = 0$
Правила, которые мы сегодня разобрали имеют ряд выводов:
1. Если два числа имеют одинаковые знаки, то их произведение положительно. И наоборот, если произведение двух чисел положительно, то эти числа имеют одинаковые знаки.
2. Если два числа имеют разные знаки, то их произведение отрицательно. И наоборот, если произведение двух чисел отрицательно, значит они имеют разные знаки.
3. Если хотя бы одно из двух чисел равно нулю, то их произведение будет равно нулю. И наоборот, если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю.
Это правило распространяется на любое количество множителей.
Пример 1
Решите уравнение $( 4 + x ) ( x - 3,4 ) = 0$
Решение
Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.
$4 + x = 0$ или $x - 3,4 = 0$
$x = - 4$ или $x = 3,4$
Ответ: $- 4$; $3,4$.
Пример 2
Докажите, что значение выражения $x^{2}$ неотрицательно.
Решение
1. Если $x$ — положительное число, то $x^{2} = x \cdot x$ — положительное число (как произведение чисел с одинаковыми знаками).
2. Если $x$ — отрицательное число, то $x^{2} = x \cdot x$ — положительное число (как произведение чисел с одинаковыми знаками).
3. Если $x = 0$, то произведение по свойству равно нулю.
Видим, что отрицательных значений произведение не принимает. Таким образом, значение выражения $x^{2}$ всегда неотрицательно.
При любых значениях $x$ выражение $x^{2}$ принимает только неотрицательные значения.
$x^{2} \geq 0$
Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел
Мы уже говорили выше, что для рациональных чисел справедливо переместительное свойство умножения.
Это касается также и сочетательного свойства.
Для любых рациональных чисел $a$ и $b$ выполняются равенства:
$a b = b a$ переместительное свойство умножения;
$( a b ) c = a ( b c )$ сочетательное свойство умножения.
Используя эти свойства, в произведении нескольких рациональных чисел мы можем переставлять множители местами, расставлять скобки, тем самым определяя наиболее удобный порядок выполнений действий.
$( - 25 \cdot 7 ) \cdot ( - 4 ) = ( - 25 \cdot ( - 4 ) ) \cdot 7 = 700$
Коэффициент
Рассмотрим выражение $0,2 x \cdot 7,1 y \cdot ( - 5 ) .$ Упростим выражение, используя свойства умножения:
$0,2 x \cdot 7,1 y \cdot ( - 5 ) = 0,2 \cdot x \cdot 7,1 \cdot y \cdot ( - 5 ) = ( 0,2 \cdot 7,1 \cdot ( - 5 ) ) \cdot x \cdot y = - 7,1 x y$.
В полученном выражении $– 7,1$ — числовой множитель, который по-другому еще называют коэффициентом.
Заметим, что в выражении $0,2 x \cdot 7,1 y \cdot ( - 5 )$ ни один из числовых множителей $0,2$; $7,1$ или $– 5$ не является коэффициентом.
Чтобы найти коэффициент в буквенном выражении, нужно найти произведение всех его числовых множителей.
Коэффициент $1$ и $- 1$ обычно не записывают перед числом.
У выражения $a$ коэффициент равен $1$, а у выражения $- a$ коэффициент равен $- 1$.
Упражнения
1. 1) $36 \cdot ( - 4 ) ;$ 2) $- 7,8 \cdot ( - 7 ) ;$ 3) $- 4 \frac{4}{9} \cdot ( - 1 \frac{1}{8} ) ;$ 4) $- 5 \frac{5}{6} \cdot 1 \frac{5}{7} .$
2. Выполните действия:
1) $- 13,4 \cdot 0,6 + ( - 2,3 ) \cdot 3,8 ;$ 2) $( 2,8 - 5 ) \cdot ( - 9,38 + 9,36 ) .$
3. Решить уравнение: $( x + 9 ) ( x - 8 ) = 0 .$
4. Упростите выражение и назовите его коэффициент:
1) $- 3,2 \cdot 6 x ;$ 2) $- 0,8 y \cdot ( - 0,7 ) ;$ 3) $5 a \cdot ( - 1,4 b ) \cdot 0,6 c$
Контрольные вопросы
1. Как умножить числа с разными знаками?
2. Как умножить два отрицательных числа?
3. Какие знаки должны иметь множители, чтобы произведение двух чисел было отрицательным? Положительным?
4. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства умножения.
5. Что такое коэффициент?
1. 1) – 144; 2) 54,6; 3) 5; 4) – 10.
2. 1) – 16,78; 2) 0,044.
3. – 9; 8.
4. 1) – 19,2x; 2) 0,56y; 3) – 4,2abc.
