- Линейное уравнение с двумя переменными;
- График линейного уравнения с двумя переменными;
- Решение заданий по теме.
- Знать определение линейного уравнения с двумя переменными;
- Знать понятия: решение уравнения, график уравнения, равносильные уравнения, свойства линейных уравнений;
- Уметь выражать одну переменную через другую;
- Уметь строить график линейного уравнения;
- Уметь решать линейное уравнение в натуральных числах.
- Что называется уравнением?
- Что значит решить уравнение?
- Какие уравнения вы знаете?
- Что называется корнем уравнения?
- Какой общий вид имеет линейная функция?
- Что является графиком линейной функции?
Линейное уравнение с двумя переменными
Вы уже давно знакомы с самым простым типом уравнений — линейными уравнениями с одной переменной. Вот пример такого уравнения:
$5 x - 2 = 8 ,$
$5 x = 10 ,$
$x = 2$.
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $a x = b$, где $x$ — переменная, которую нужно найти, а $a$ и
$b$ — некоторые числа.
Корень уравнения — это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что корней нет.
Рассмотрим, какое количество решений может иметь линейное уравнение с одной неизвестной.
Теперь рассмотрим такую задачу. Одно число (обозначим его $x$) на 5 меньше квадрата другого числа (обозначим его за $y$). Тогда можно составить уравнение к этой задаче:
$y^{2} - x = 5$.
Мы получили уравнение с двумя неизвестными $x$ и $y$. Это равенство выполняется не при всех значениях переменных. Например, для $x = 4$, $y = 3$ оно выполняется, а для $x = 3$, $y = 2$ такое равенство не выполняется. Подобное равенство с двумя переменными называют уравнением с двумя переменными, а пару чисел $x = 4$, $y = 3$ называют решением уравнения.
Рассмотрим еще одну задачу. Группу из 42 артистов нужно заселить в гостиницу в двухместные и трехместные номера, так, чтобы в номерах не осталось свободных мест. Пусть $x$ — количество двухместных номеров, а $y$ — количество трехместных номеров. Тогда $2 x$ — это количество артистов в двухместных номерах, а $3 y$ — количество артистов в трехместных номерах. Составим уравнение:
$2 x + 3 y = 42$.
Например, пара чисел $x = 15$, $y = 4$ будет являться решением этого уравнения.
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $a x + b y = c$, где $x$ и $y$ — переменные, которые нужно найти, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа. Числа $a$ и $b$ называются коэффициентами при неизвестных $x$ и $y$ соответственно, а число $c$ называется свободным членом.
Примеры линейных уравнений с двумя переменными:
$2 x - 7 y = 65,7 ( x - 2 ) + 2 ( y + 3 ) = 2 x + 5,9 x = 4 y + 13$.
Примеры уравнений с двумя переменными, которые не являются линейными (не приводятся к виду $a x + b y = c$):
$2 x^{2} + 7 y - 3 = 10 , x y + 1 = 9 , x + \left( y - 2 \right)^{2} = 26$.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных $\left(x ; y\right)$, обращающая это уравнение в верное равенство. На первом месте принято писать значение переменной $x$, а на втором — значение переменной $y$.
Вернемся еще раз к уравнению $2 x + 3 y = 42$, полученному в рассмотренной выше задаче. Например, его решениями будут пары чисел $( 21 ; 0 )$, $( 18 ; 2 )$, $( 15 ; 4 ) ,$ $( 12 ; 6 )$ и другие. Среди бесконечного множества решений данного уравнения есть, например, и такие пары, как $( 36 ; - 10 )$, которые не могут служить решением данной задачи, так как количество номеров не может быть отрицательным.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными, которые не имеют решений, также считаются равносильными.
Отметим, что уравнения с двумя переменными обладают всеми свойствами линейных уравнений с одной переменной. А именно:
1. если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим равносильное уравнение;
2. если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный, то получим равносильное уравнение.
Пример 1
Составить уравнение к задаче и подобрать одно решение.
Сахар расфасован в пакеты по 3 кг и по 5 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 38 кг сахара?
Решение
Пусть $x$ — количество пакетов по 3 кг, $y$ — количество пакетов по 5 кг. Тогда $3 x$ — количество кг сахара в трехкилограммовых пакетах, а $5 y$ — количество кг сахара в пятикилограммовых пакетах. Всего сахара нужно 38 кг. Составим уравнение:
$3 x + 5 y = 38$.
Проверим, что пара чисел $( 1 ; 7 )$ является решением. Действительно,
$3 \cdot 1 + 5 \cdot 7 = 38$
Ответ: 1 пакет по 3 кг и 7 пакетов по 5 кг.
Упражнение 1
1. Составить уравнение к задаче.
Сколько нужно двухрублевых и пятирублевых монет, если вся покупка составляет 26 руб?
2. Составить уравнение к задаче.
Ваня купил шоколадки по 40 руб и соки по 15 руб. Сколько Ваня купил шоколадок и соков, если за всю покупку он отдал 230 руб?
Выразить переменную $y$ через $x$ в заданном уравнении с двумя неизвестными $x$ и $y$ — это значит решить это уравнение относительно $y$ при любом заданном значении $x$.
Снова вернемся к уравнению $2 x + 3 y = 42$, полученному в рассмотренной нами задаче. Выразим в этом уравнении переменную $y$ через $x$, используя свойства уравнений. Перенесем слагаемое $2 x$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$3 y = 42 - 2 x$.
Теперь разделим обе части уравнения на 3:
$y = 14 - \frac{2}{3} x$.
Мы получили формулу для нахождения $y$. Пользуясь ей, мы можем найти сколько угодно решений нашего уравнения. Для этого нужно взять произвольное значение $x$ и вычислить для него соответствующее значение $y$. Например:
если $x = 1$, то $y = 14 - \frac{2}{3} = 13 \frac{1}{3}$
если $x = 3$, то $y = 14 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 12$
если $x = 6$, то $y = 14 - \frac{2}{3} \cdot 6 = 10$
Пары чисел $( 1 ; 13 \frac{1}{3} )$, $( 3 ; 12 )$, $( 6 ; 10 )$ — решения уравнения
$2 x + 3 y = 42$. Само уравнение имеет бесконечно много решений, но не все они подходят для решения именно нашей задачи. По условию количество номеров не может быть дробным числом, а также не может быть отрицательным. В таких случаях говорят, что надо решить уравнение «в натуральных числах».
Все решения уравнения $2 x + 3 y = 42$ в натуральных числах:
(3;12), (6; 10), (9; 8), (12; 6), (15; 4), (18; 2).
Пример 2
Является ли решением уравнения $7 x + y = 23$ пара чисел:
а) (-2; 31);
б) (2;9);
в) (3; 2);
г) (-1; 36).
Решение
а) Проверим первую пару (-2; 31). На первом месте указывается значение переменной $x$, а на втором — значение переменной $y$.
Если $x = - 2$, $y = 31$, то $7 \cdot ( - 2 ) + 31 = 17 \neq 23$.
Пара чисел (-2; 31) не будет являться решением.
б) Если $x = 2$, $y = 9$, то $7 \cdot 2 + 9 = 23$.
Эта пара обращает уравнение в верное равенство, значит, является решением.
в) Если $x = 3$, $y = 2$, то $7 \cdot 3 + 2 = 23$.
Является решением.
г) Если $x = - 1$, $y = 36$, то $7 \cdot ( - 1 ) + 36 = 29 \neq 23$.
Не будет решением уравнения.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
Пример 3
Из линейного уравнения $2 x - 5 y = 45$ выразите:
а) $y$ через $x$;
б) $x$ через $y$.
Решение
а) Перенесем слагаемое $2 x$ в правую часть, поменяв его знак на противоположный:
$- 5 \text{у} = 45 - 2 x$.
Разделим обе части уравнения на -5:
$y = - 9 + \frac{2}{5} x$
$y = - 9 + 0,4 x$.
б) Перенесем слагаемое $- 5 y$ в правую часть, поменяв его знак на противоположный:
$2 x = 45 + 5 y$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = 22,5 + 2,5 y$.
Ответ: a) $y = - 9 + 0,4 x$; б) $x = 22,5 + 2,5 y$.
Пример 4
Решите уравнение $3 x + 2 y = 15$ в натуральных числах.
Решение
Выразим переменную $y$ через $x$:
$3 x + 2 y = 15$
$2 y = 15 - 3 x$
$y = \frac{15 - 3 x}{2}$
$y = 7,5 - 1,5 x$.
Если $x = 1$, то $y = 7,5 - 1,5 \cdot 1 = 6$. Натуральное.
Если $x = 2$, то $y = 7,5 - 1,5 \cdot 2 = 4,5$. Не является натуральным.
Если $x = 3$, то $y = 7,5 - 1,5 \cdot 3 = 3$. Натуральное.
Если $x = 4$, то $y = 7,5 - 1,5 \cdot 4 = 1,5$. Не является натуральным.
Если $x = 5$, то $y = 7,5 - 1,5 \cdot 5 = 0$. Не является натуральным.
Если дальше увеличивать значения переменной $x$, то значения переменной $y$ будут уменьшаться и уходить в отрицательные значения.
Ответ: (1;6), (3;3).
Упражнение 2
1. Является ли решением уравнения $2 x + 6 y = 58$ пара чисел:
а) (-10; 13);
б) (2;9);
в) (7; 6);
г) (-1; 10).
2. Из линейного уравнения $4 x + 5 y = 64$ выразите:
а) $y$ через $x$
б) $x$ через $y$
3. Решите уравнение $2 x + 5 y = 32$ в натуральных числах.
График линейного уравнения с двумя переменными
Каждому решению $\left(x ; y\right)$ линейного уравнения с двумя переменными можно поставить в соответствие точку на координатной плоскости, причем значение $x$ будет абсциссой, а значение $y$ — ординатой.
Графиком уравнения называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения.
Давайте построим график уравнения $3 x - 2 y = - 4$.
Выразим переменную $y$ через $x$:
$y = \frac{3 x + 4}{2}$
$y = 1,5 x + 2$.
Мы получили равносильное уравнение. Этой формулой задается линейная функция, а мы знаем, что ее графиком будет прямая.
Найдем несколько решений:
Рис. 1. График уравнения 3х-2у=4
1. (0; 2), действительно, если
$x = 0$, то $y = 1,5 \cdot 0 + 2 = 2$;
2. (-1; 0,5), действительно, если $x = - 1$, то $y = 1,5 \cdot ( - 1 ) + 2 = 0,5$.
Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 1) и проведем через них прямую. Эта прямая и есть график уравнения $3 x - 2 y = 4$.
Как еще может выглядеть график линейного уравнения с двумя переменными? Рассмотрим возможные случаи.
1. Пусть $a = 0$, $b = 0$, $c = 0$. Тогда уравнение примет вид:
$0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$.
Таким образом, мы получили $0 = 0$. Это будет верное равенство при любых значениях $x$ и $y$. А графиком уравнения будет вся координатная плоскость.
2. Пусть $a = 0$, $b = 0$, $c \neq 0$. Тогда уравнение примет вид:
$0 \cdot x + 0 \cdot y = c$.
Т. е. мы получили $c = 0$, но $c \neq 0$. Это не выполняется ни при каких значениях $x$ и $y$. Значит, уравнение не имеет решений.
3. Пусть $a = 0$, $b \neq 0$. Тогда уравнение примет вид:
$0 \cdot x + b \cdot y = c$.
Тогда $y = \frac{c}{b}$, а графиком будет прямая, параллельная оси $x$.
4. Пусть $a \neq 0$, $b = 0$. Тогда уравнение примет вид:
$a \cdot x + 0 \cdot y = c$.
Тогда $x = \frac{c}{a}$, а графиком будет прямая, параллельная оси $y$.
5. Пусть $a \neq 0$, $b \neq 0$. Тогда уравнение примет вид:
$a \cdot x + b \cdot y = c$.
Графиком в этом случае будет прямая, не параллельная ни одной из осей координат.
Если хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ линейного уравнения с двумя неизвестными $a x + b y = c$ отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая.
Пример 5
Постройте график уравнения $x + y = 5$.
Рис. 2. График уравнения х+у=5
Решение
В уравнении $x + y = 5$ все коэффициенты отличны от нуля, значит, графиком будет прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
Пусть $x = - 1$, тогда $- 1 + y = 5$, $y = 6$.
Пусть $x = 3$, тогда $3 + y = 5$, $y = 2$.
Отметим на координатной плоскости точки $( - 1 ; 6 )$ и $( 3 ; 2 )$ и соединим их (рис. 2). Мы получили график уравнения $x + y = 5$.
Упражнение 3
1. Постройте график уравнения $x + 3 y = 0$.
2. Постройте график уравнения $2 y = 5$.
3. Постройте график уравнения $- 3 x = 8$.
4. Постройте график уравнения $- 2 x + 5 y = 6$.
Контрольные вопросы
1. Что называется линейным уравнением с двумя переменными? Приведите примеры.
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
3. Какие уравнения называются равносильными?
4. Какие преобразования уравнения с двумя переменными приводят к равносильным уравнениям?
5. Что является графиком уравнения с двумя переменными?
6. При каком условии график линейного уравнения параллелен оси $x$? Параллелен оси $y$?
Упражнение 1
1. $2 x + 5 y = 26$
2. $40 x + 15 y = 230$
Упражнение 2
1. а) да
б) да
в) нет
г) да
2. а) $y = 12,8 - 0,8 x$
б) $x = 16 - 1,25 y$
3. $( 1 ; 6 ) , ( 6 ; 4 ) , ( 11 ; 2 )$
Упражнение 3
1.
Рис. 3. Упражнение 3. Ответ
2.
Рис. 4. Упражнение 3. Ответ
3.
Рис. 5. Упражнение 3. Ответ
4.
Рис. 6. Упражнение 3. Ответ
