Конспект урока: Способ сложения

Способ сложения

Мы продолжаем рассматривать системы линейных уравнений с двумя неизвестными, у которых отличные от нуля и непропорциональные коэффициенты при неизвестных. Такие системы, как мы уже знаем, имеют единственное решение. Кроме решения графическим способом и способом подстановки есть еще и другой способ, называемый способом уравнивания коэффициентов или способом алгебраического сложения (или просто способом сложения).

Давайте рассмотрим систему:

$\begin{cases} 2 x + y = 5 , \\ 5 x - y = 9 . \end{cases}$

Как бы мы решали эту систему способом подстановки? Первым делом мы бы выразили переменную $y$ через $x$ из первого уравнения и подставили бы полученное выражение во второе уравнение вместо переменной $y$. В итоге мы бы получили уравнение с одной неизвестной $x$, т.е. мы бы временно исключили переменную $y$. Но исключить переменную $y$ можно и по-другому. Иногда этот способ будет  даже проще и быстрее. Давайте сложим оба уравнения системы (сложить уравнения – это значит составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять):

$\frac{+ \begin{cases} 2 x + y = 5 , \\ 5 x - y = 9 , \end{cases}}{( 2 x + y ) + ( 5 x - y ) = 5 + 9 ,}$

$7 x = 14$,

$x = 2$.

Теперь наша задача найти значение $y$. Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, в первое:

$2 x + y = 5$,

$2 \cdot 2 + y = 5$,

$y = 1$.

Таким образом, мы нашли решение системы уравнений способом сложения 
(2; 1).

Решите систему уравнений способом сложения $\begin{cases} x - 6 y = 17 , \\ 5 x + 6 y = 13 . \end{cases}$

Решение

Заметим, что в уравнениях системы коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$\frac{+ \begin{cases} x - 6 y = 17 , \\ 5 x + 6 y = 13 , \end{cases}}{( x - 6 y ) + ( 5 x + 6 y ) = 17 + 13 ,}$

$6 x = 30$,

$x = 5$.

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение заданной системы:

$x - 6 y = 17$,

$5 - 6 y = 17$,

$6 y = - 12$,

$y = - 2$.

Мы нашли решение системы (5; -2).

Ответ: (5; -2).

Решите систему уравнений способом сложения $\begin{cases} x + y = 4 , \\ 4 x - 5 y = 7 . \end{cases}$

Решение

Здесь сразу исключить переменную $x$ или переменную $y$ из обоих уравнений способом сложения уравнений не получится. Нужно сделать подготовительный шаг.  Давайте умножим все члены первого уравнения на 5. Получим:

$\begin{cases} 5 x + 5 y = 20 , \\ 4 x - 5 y = 7 . \end{cases}$

Теперь можно сложить уравнения и исключить переменную $y$:

$\frac{+ \begin{cases} 5 x + 5 y = 20 , \\ 4 x - 5 y = 7 , \end{cases}}{( 5 x + 5 y ) + ( 4 x - 5 y ) = 20 + 7 ,}$

$9 x = 27$,

$x = 3$.

Подставим значение $x$, равное $3$, в первое уравнение данной системы:

$x + y = 4$,

$3 + y = 4$,

$y = 1$.

Таким образом, пара чисел $x = 3$, $y = 1$ будет решением системы уравнений.

Ответ: (3; 1).

Решите систему уравнений способом сложения $\begin{cases} 4 x + 15 y = - 42 , \\ - 6 x + 25 y = - 32 . \end{cases}$

Решение

Здесь также, как и в предыдущем примере, не получится сразу исключить переменную $x$ или $y$. Давайте посмотрим на коэффициенты, стоящие при переменной $x$. Это числа 4 и -6. Наша задача получить пару противоположных коэффициентов, чтобы при сложении уравнений исключить переменную $x$. Очевидно, что такой парой будут числа 12 и -12. Для каждого из уравнений найдем дополнительный множитель и умножим на него все члены уравнения:

$\begin{cases} 4 x + 15 y = - 42 , \\ - 6 x + 25 y = - 32 , \end{cases} \left|\cdot 3 \\ \left|\cdot 2 \Leftrightarrow \begin{cases} 12 x + 45 y = - 126 , \\ - 12 x + 50 y = - 64 . \end{cases}$

Теперь можно сложить два уравнения системы, чтобы исключить переменную $x$ и найти $y$:

$\frac{+ \begin{cases} 12 x + 45 y = - 126 , \\ - 12 x + 50 y = - 64 , \end{cases}}{( 12 x + 45 y ) + ( - 12 x + 50 y ) = - 126 - 64 ,}$

$95 y = - 190$,

$y = - 2$.

Найдем значение переменной $x$ из первого уравнения системы:

$4 x + 15 y = - 42$,

$4 x + 15 \cdot ( - 2 ) = - 42$,

$4 x = - 12$,

$x = - 3$.

Получили ответ (-3; -2).

Ответ: (-3; -2).

Из рассмотренных примеров следует, что при решении систем линейных уравнений с отличными от нуля и непропорциональными коэффициентами при неизвестных способом сложения, нужно:

1 шаг.  умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. 

2 шаг. сложить почленно левые и правые части уравнений системы.

3 шаг. решить полученное уравнение с одной неизвестной.

4 шаг. подставить найденное значение переменной в любое из уравнений системы и найти значение второй переменной.

5 шаг. записать решение системы уравнений.

Если же в уравнениях системы коэффициенты при одной из переменных уже являются противоположными числами, то шаг 1 можно пропустить и начать сразу с шага 2.

1. Решите систему уравнений способом сложения  $\begin{cases} 9 x - 7 y = 19 , \\ - 9 x - 4 y = 25 . \end{cases}$

2. Решите систему уравнений способом сложения  $\begin{cases} 4 x - 7 y = 30 , \\ 4 x - 5 y = 90 . \end{cases}$

3. Решите систему уравнений способом сложения $\begin{cases} x + y = 4 , \\ 4 x - 5 y = 7 . \end{cases}$

4. Решите систему уравнений способом сложения $\begin{cases} x - y = 6 , \\ 5 x - 2 y = - 3 . \end{cases}$

5. Решите систему уравнений способом сложения $\begin{cases} 9 x + 8 y = - 53 , \\ 15 x + 12 y = - 27 . \end{cases}$