Конспект урока: Решение задач с помощью систем уравнений

Решение задач с помощью систем уравнений

Системы уравнений широко используются при решении задач. В тех задачах, где неизвестных более одного и они связаны различными условиями, целесообразно использовать системы уравнений. Рассмотрим простой пример такой задачи.

Сумма двух чисел равна 10, а их разность равна 4. Найдите эти числа.

Решение

Решим задачу с помощью системы уравнений. Пусть $x$ — первое число, а $y$ — второе число. По условию задачи известно, что их сумма равна 10, т. е. $x + y = 10$. Также известно, что их разность равна 4, т. е. $x - y = 4$. Так как речь идет об одних и тех же числах, нам нужно найти такие значения $x$ и $y$, чтобы они удовлетворяли и первому и второму уравнению одновременно. Получим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 10 , \\ x - y = 4 . \end{cases}$

1 способ. Решим систему уравнений способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную $x$ и подставим во второе уравнение:

$\begin{cases} x + y = 10 , \\ x - y = 4 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 10 - y , \\ ( 10 - y ) - y = 4 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 10 - y , \\ - 2 y = - 6 , \end{cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 10 - y , \\ y = 3 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 10 - 3 , \\ y = 3 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 7 , \\ y = 3 . \end{cases}$

2 способ. Решим систему уравнений способом сложения:

$\frac{+ \begin{cases} x + y = 10 , \\ x - y = 4 , \end{cases}}{( x + y ) + ( x - y ) = 10 + 4}$,

$2 x = 14$,

$x = 7$.

Подставим полученное значение переменной $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти значение $y$:

$x + y = 10$,

$7 + y = 10$,

$y = 3$.

Ответ: 7 и 3.

Для решения конкретной системы уравнений нужно выбирать тот способ, который кажется для данного случая наиболее удобным, или тот, который вам больше нравится. В примере 1 мы решили систему уравнений двумя способами, чтобы повторить метод подстановки и метод сложения.

Расстояние между пунктами по реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 ч, а против течения — за 5 ч. Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Решение

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки, а $y$ км/ч — скорость течения реки. Когда лодка движется по течению, река ей «помогает» и ее скорость становится равной $( x + y )$ км/ч. Двигаясь по течению со скоростью $( x + y )$ км/ч лодка пройдет расстояние 80 км за 4 ч. Мы знаем, что расстояние равно скорости, умноженной на время $( S = V t )$. Тогда первое уравнение будет $( x + y ) \cdot 4 = 80$.

Вторая ситуация, когда лодка движется против течения, т. е. река ей «мешает» и скорость движения будет меньше. Она будет равна
$( x - y )$ км/ч. Те же 80 км лодка будет проходить 5 ч. Составим второе уравнение: $( x - y ) \cdot 5 = 80$. 

Итак, получили систему уравнений:

$\begin{cases} ( x + y ) \cdot 4 = 80 , \\ ( x - y ) \cdot 5 = 80 . \end{cases}$

Решим эту систему способом сложения:

$\begin{cases} ( x + y ) \cdot 4 = 80 , \\ ( x - y ) \cdot 5 = 80 , \end{cases}$

$\frac{+ \begin{cases} x + y = 20 \\ x - y = 16 \end{cases}}{( x + y ) + ( x - y ) = 20 + 16}$,

$2 x = 36$,

$x = 18$.

Найдем значение $y$:

$x + y = 20$,

$18 + y = 20$,

$y = 2$.

Ответ: собственная скорость лодки 18 км/ч, скорость течения — 2 км/ч.

Можно ли разменять купюру в 2000 рублей купюрами в 50 рублей и 10 рублей, если для размена нужно использовать 46 купюр?

Решение

Пусть для размена использовали $x$ штук купюр в 50 рублей и $y$ штук купюр в 10 рублей. Общее количество купюр по условию задачи равно 46, т.е. $x + y = 46$. Учтем, что $x$ купюр по 50 рублей стоят $50 x$ рублей, а $y$ купюр по 10 рублей составят $10 y$ рублей. Общая сумма всех купюр должна быть 2000. Получим уравнение $50 x + 10 y = 2000$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 46 , \\ 50 x + 10 y = 2000 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y = 46 , \\ 5 x + y = 200 . \end{cases}$

Для удобства все члены второго уравнения мы разделили на 10. Решим систему уравнений способом подстановки:

$\begin{cases} x = 46 - y , \\ 5 x + y = 200 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 46 - y , \\ 5 ( 46 - y ) + y = 200 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 46 - y , \\ - 4 y = - 30 , \end{cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 46 - y , \\ y = 7,5 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 38,5 , \\ y = 7,5 . \end{cases}$

Вернемся к нашим обозначениям в начале задачи. Мы получили, что для размена понадобится 7,5 купюр в 10 рублей и 38,5 купюр в 50 рублей. По смыслу задачи числа $x$ и $y$ могут быть только натуральными. Поэтому разменять купюру 2000 рублей данным способом не получится.

Ответ: нельзя.

В прямоугольнике, периметр которого 52 см, разность длин двух сторон равна 4 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение

Пусть $x$ см будет длина прямоугольника, а $y$ см — ширина. Периметр — это сумма длин всех сторон, т. е. $( x + y ) \cdot 2$. По условию он равен 52 см. Значит, первое уравнение будет: $( x + y ) \cdot 2 = 52$.

Также известно, что разность длин сторон равна 4, т. е. $x - y = 4$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} ( x + y ) \cdot 2 = 52 , \\ x - y = 4 . \end{cases}$

Разделим обе части первого уравнения на 2 и решим систему уравнений способом сложения:

$\frac{+ \begin{cases} x + y = 26 , \\ x - y = 4 , \end{cases}}{( x + y ) + ( x - y ) = 26 + 4}$,

$2 x = 30$,

$x = 15$.

Найдем значение $y$ из первого уравнения:

$x + y = 26$,

$15 + y = 26$,

$y = 11$.

Мы решили систему уравнений. Получили, что длина прямоугольника равна 15 см, а ширина — 11 см.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно вычислить площадь прямоугольника, которая равна произведению его длины на ширину:

$15 \cdot 11 = 165$ см².

Ответ: $165$ см².

Решая задачи с помощью системы уравнений, нужно придерживаться схемы:

1 шаг. Ввести обозначения неизвестных и составить систему уравнений к задаче.

2 шаг. Решить систему уравнений.

3 шаг. После решения системы уравнений вернуться к условию задачи и использованным обозначениям и записать ответ (могут понадобиться дополнительные вычисления, как в примере 4).

1. Одно число больше другого на 6, а их сумма равна 40. Найдите эти числа.

2. Было куплено 84 кг картофеля и моркови, причем картофеля куплено на 3 ящика больше, чем моркови. Сколько ящиков картофеля и моркови закуплено по отдельности, если в 1 ящике моркови 8 кг, а картофеля
10 кг.

3. Теплоход проходит 180 км по течению за 6 часов, а 120 км против течения за 5 часов. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

4. Основание равнобедренного треугольника на 6 см больше его боковой стороны. Найдите его боковую сторону, если его периметр равен 42 см.