Конспект урока: Способ подстановки

Способ подстановки

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} 2 x + y = 4 , \\ 3 x - 2 y = - 1 \end{cases}$. Для начала решим её графически. Для построения графика уравнения $2 x + y = 4$ возьмем точки (0; 4) и (2; 0). Для построения графика второго уравнения, $3 x - 2 y = - 1$, возьмем два решения (0; 0,5) и (-1; -1). Из рисунка видно, что решением системы будет (1; 2) (рис. 1).

Рис. 1. Решение системы уравнений графическим способом

Теперь решим эту же систему другим способом. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

 

$y = 4 - 2 x$.

 

Так как это уравнение равносильно исходному, подставим его в нашу систему:

 

$\begin{cases} y = 4 - 2 x , \\ 3 x - 2 y = - 1 . \end{cases}$

 

Теперь подставим выражение $4 - 2 x$ во второе уравнение системы, вместо переменной $y$. Получим:

 

$\begin{cases} y = 4 - 2 x , \\ 3 x - 2 ( 4 - 2 x ) = - 1 . \end{cases}$

 

В получившейся системе второе уравнение содержит только одну неизвестную $x$. Решим это уравнение:

 

$3 x - 2 ( 4 - 2 x ) = - 1$,

$3 x - 8 + 4 x = - 1$,

$7 x = 7$,

$x = 1$.

Полученное значение $x = 1$ подставим в первое уравнение системы $y = 4 - 2 x$, чтобы найти значение переменной $y$:

$y = 4 - 2 \cdot 1$,

$y = 2$.

Таким образом, пара чисел (1; 2) будет решением системы. 

Рассмотренный нами способ решения системы уравнений называется способом подстановки.

При решении системы уравнений мы с помощью преобразований заменяем ее более простой (с точки зрения решения) равносильной системой.

Рассмотрим еще примеры решения систем уравнений способом подстановки.

Решите систему уравнений способом подстановки $\begin{cases} 5 x - 3 y = 14 , \\ 2 x + y = 10 . \end{cases}$

Решение

Внимательно посмотрев на уравнения системы, заметим, что проще всего выразить переменную $y$ из второго уравнения:

$2 x + y = 10$,

$y = 10 - 2 x$.

Теперь полученное выражение подставим в первое уравнение вместо переменной $y$:

$5 x - 3 y = 14$,

$5 x - 3 ( 10 - 2 x ) = 14$,

$5 x - 30 + 6 x = 14$,

$11 x = 44$,

$x = 4$.

Подставим значение $x = 4$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:

$y = 10 - 2 x$,

$y = 10 - 2 \cdot 4$,

$y = 2$.

Получили решение (4; 2).

Решение системы можно оформить следующим образом:

$\begin{cases} 5 x - 3 y = 14 , \\ 2 x + y = 10 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5 x - 3 y = 14 , \\ y = 10 - 2 x , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5 x - 3 ( 10 - 2 x ) = 14 , \\ y = 10 - 2 x , \end{cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 , \\ y = 10 - 2 x , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 , \\ y = 10 - 2 \cdot 4 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 , \\ y = 2 . \end{cases}$

Ответ: (4; 2).

При решении системы уравнений способом подстановки, мы должны придерживаться следующего алгоритма:

1 шаг.  Выразить из одного уравнения системы одну переменную через другую.

2 шаг. Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение.

3 шаг. Решить полученное уравнение с одной переменной.

4 шаг. Найти соответствующее значение второй переменной.

5 шаг. Записать решение системы уравнений

Решите систему способом подстановки $\begin{cases} x + 5 y = 35 , \\ 3 x + 2 y = 27 . \end{cases}$

Решение

Разберем решение системы по пяти шагам алгоритма.

1) Выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения выразим переменную $x$:

$x + 5 y = 35 ,$

$x = 35 - 5 y$.

2) Подставим полученное выражение $35 - 5 y$ вместо переменной $x$ во второе уравнение:

$3 x + 2 y = 27$,

$3 ( 35 - 5 y ) + 2 y = 27$.

3) Решим полученное уравнение с одной переменной:

$3 ( 35 - 5 y ) + 2 y = 27$,

$105 - 15 y + 2 y = 27$,

$- 13 y = - 78$,

$y = 6$.

4) Найдем соответствующее значение второй переменной. В первое уравнение вместо $y$ подставим ее значение - 6:

$x = 35 - 5 y$,

$x = 35 - 5 \cdot 6$,

$x = 5$.

5) Запишем решение системы уравнений. Получили решение (5; 6).

Ответ: (5; 6).

1. Решите систему уравнений способом подстановки $\begin{cases} 2 x - y = 2 , \\ 3 x - 2 y = 3 . \end{cases}$

2. Решите систему уравнений способом подстановки $\begin{cases} 5 y - x = 6 , \\ 3 x - 4 y = 4 . \end{cases}$

3. Решите систему уравнений способом подстановки $\begin{cases} 3 x + 4 y = 55 , \\ 7 x - y = 56 . \end{cases}$

4. Решите систему уравнений способом подстановки $\begin{cases} 4 y - x = 11 , \\ 6 y - 2 x = 13 . \end{cases}$