Конспект урока: Многочлен и его стандартный вид. Сложение и вычитание многочленов

Многочлен и его стандартный вид

Мы уже умеем умножать и возводить в степень одночлены, знаем, что в результате применения этих операций получим тоже одночлены. А что будет, если сложить или вычесть одночлены? 

Рассмотрим выражение $5 x^{2} y - 2 x y + 4 y - 3$. Оно представляет собой сумму одночленов $5 x^{2} y$, $- 2 x y$, $4 y$, $- 3$.

Одночлены, из которых составлен многочлен, — это члены многочлена.

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех — трёхчленом.

Одночлен — это многочлен, состоящий из одного члена.

Если в многочлене несколько членов имеют одинаковую буквенную часть (т. е. являются подобными слагаемыми), то их называют подобными членами многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — это приведение подобных членов многочлена.

Если многочлен не содержит подобных членов, то его называют многочлен стандартного вида.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо каждый член этого многочлена привести к стандартному виду и привести подобные члены. 

Степень многочлена — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов (многочлен должен быть приведён к стандартному виду).

Степень произвольного многочлена — степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Если в членах многочлена присутствует только одна переменная, то для записи его в стандартном виде, нужно записать все члены в порядке убывания степеней.

Для данного многочлена $2 + 7 a - 3 a^{3} + 15 - 10 a$:

а) назовите члены многочлена;

б) приведите его к стандартному виду;

в) определите степень многочлена.

Решение

а) члены многочлена: $2 ; 7 a ; - 3 a^{3} ; 15 ; - 10 a$;

б) $2 + 7 a - 3 a^{3} + 15 - 10 a = - 3 a^{3} - 3 a + 17$;

в) степень данного многочлена равна $3$.

1. Приведите многочлен к стандартному виду и укажите его степень:

а) $- 4 x^{4} + 12 x - 5 x^{3} - 7 x + 8 x^{3}$;

б) $3 a b^{2} - 4 a b^{2} + a b - 3 a b^{2} + 9 a^{2} b - 7 a b$;

в) $2 x \cdot 5 y + 8 x \cdot 4 y - 0,5 x \cdot 2 y + 7 x \cdot y$.

2. Найдите значение многочлена:

а) $3 n^{5} - 2 n^{3} + n - 10 n^{3} + n^{2} - 2 n^{5}$  при $n = - 2$;

б) $2 p^{2} x - 3 p + 4 p^{2} x - 5 p + 5 x$ при $p = - 1$, $x = 3$.

Сложение и вычитание многочленов 

Чтобы сложить многочлены, надо составить их сумму, раскрыть скобки и привести подобные члены. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «плюс», знаки у слагаемых внутри скобок не меняются.

Чтобы вычесть из одного многочлена другой многочлен, надо составить разность многочленов, раскрыть скобки и привести подобные члены. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки у слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Для данных многочленов  $3 x^{2} - 8 x$ и $3 x^{2} + 2 x - 5$:

а) составьте сумму и преобразуйте её в многочлен стандартного вида;

б) составьте разность второго и первого многочленов и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.

Решение

а) Составим сумму данных многочленов, раскроем скобки, приведем подобные члены многочлена, запишем в стандартном виде:

$\left(3 x^{2} - 8 x\right) + \left(3 x^{2} + 2 x - 5\right) = 3 x^{2} - 8 x + 3 x^{2} + 2 x - 5 = 6 x^{2} - 6 x - 5$.

б) Составим разность второго и первого многочленов, раскроем скобки, приведем подобные члены многочлена, запишем в стандартном виде: 

$\left(3 x^{2} + 2 x - 5\right) - \left(3 x^{2} - 8 x\right) = 3 x^{2} + 2 x - 5 - 3 x^{2} + 8 x = 10 x - 5$.

1. Упростите выражения:

а) $\left(4 x^{5} - 2 x + 1\right) + \left(3 x^{5} - x - 4\right)$;

б) $\left(8 a^{2} - a^{2} b + b + 4 a\right) - \left(2 a^{2} - a^{2} b + b - 7 a\right)$;

в) $( 2 a - 12 ) - ( 7 a + 3 ) + ( a - 15 )$.

2. Решите уравнение:

а) $( 6 x - 14 ) + ( 8 x - 3 ) = 10 - ( 27 + 3 x )$;

б) $( 7 - 10 x ) - ( 2 - 3 x ) + ( 8 x - 6 ) = - 11$.