- Вынесение общего множителя за скобки
- Знать, что значит разложить многочлен на множители
- Уметь выносить за скобки общий множитель
- Уметь выносить общий множитель за скобки при выполнении упражнений
1) Разложим на множители числа 15 и 28:
$15 = 3 \cdot 5$, $28 = 4 \cdot 7$.
2) а) Найдём значение выражения $12 \cdot 17 + 8 \cdot 17$ удобным способом:
$12 \cdot 17 + 8 \cdot 17 = 17 \cdot ( 12 + 8 ) = 17 \cdot 20 = 340$.
б) Упростим выражение $3 a + 7 a$:
$3 a + 7 a = a ( 3 + 7 ) = 10 a$.
Заметим, что при выполнении заданий мы применили распределительное свойство умножения относительно сложения: $a b + a c = a ( b + c )$ ― вынесли за скобки общий (одинаковый) множитель.
Вынесение общего множителя за скобки
Многочлен — это сумма одночленов. В результате преобразований некоторые многочлены можно заменить произведением, т. е. разложить на множители.
Один из способов разложения на множители — это вынесение общего множителя за скобки.
Общим множителем для членов многочлена может быть число, переменная, степень, произведение. Если члены многочлена содержат различные степени одной и той же переменной, то за скобки выносим степень с наименьшим показателем.
Пример 1
Разложите многочлен на множители:
а) $25 x - 5 + 15 y$;
б) $18 x^{5} - 3 x^{4} + x^{3}$;
в) $27 x^{2} y^{3} - 18 x^{3} y^{2} + 54 x y^{5}$.
Решение
а) $25 x - 5 + 15 y = 5 ( 5 x - 1 + 3 y )$, общий множитель — $5$;
б) $18 x^{5} - 3 x^{4} + x^{3} = x^{3} ( 18 x^{2} - 3 x + 1 )$, общий множитель — $x^{3}$;
в) $27 x^{2} y^{3} - 18 x^{3} y^{2} + 54 x y^{5} = 9 x y^{2} \left(3 x y - 2 x^{2} + 6 y^{3}\right)$, общий множитель — $9 x y^{2}$.
В заданиях такого вида всегда можно сделать проверку, выполнив обратное действие — раскрытие скобок, например:
Рассмотрим выражения, в которых общим множителем является двучлен.
Пример 2
Разложите на множители выражение:
а) $8 ( x - y ) + a^{2} ( x - y )$;
б) $6 ( x - y ) - d ( y - x )$.
Решение
а) $8 ( x - y ) + a^{2} ( x - y )$. Для данного выражения общий множитель — это $( x - y )$, вынесем его за скобки:
$8 ( x - y ) + a^{2} ( x - y ) = ( x - y ) \left(8 + a^{2}\right)$;
б) $6 ( x - y ) - d ( y - x )$. В этом выражении множители $( x - y )$ и $( y - x )$ отличаются друг от друга знаком.
Если во втором выражении вынести за скобки число $- 1$, то знаки у слагаемых внутри скобок изменятся:
$y - x = - 1 \cdot ( - y + x ) = - 1 \cdot ( x - y ) = - ( x - y )$,
значит, при подстановке этого результата в данное в условии выражение, изменится знак перед вторым произведением:
$6 ( x - y ) - d ( y - x ) = 6 ( x - y ) + d ( x - y ) = ( x - y ) ( 6 + d )$.
Разложение на множители упрощает выполнение некоторых заданий, например, решение уравнений.
Пример 3
Решите уравнение $5 x^{2} - 14 x = 0$.
Решение
Вынесем за скобки общий множитель:
$x ( 5 x - 14 ) = 0$.
Произведение равно 0, значит, хотя бы один из множителей равен 0:
$x = 0$ или $5 x - 14 = 0$,
$5 x = 14$,
$x = 2,8$.
Ответ: $0 ; 2,8$.
Упражнение 1
1. Разложите на множители:
а) $y^{4} - 5 y^{2} - y$;
б) $16 x^{5} - 4 x^{4} + 28 x^{3}$;
в) $11 a n - 22 a n^{2} - 33 a^{2} n$.
2. Вынесите за скобки общий множитель:
а) $5 ( a - b ) + x ( a - b )$;
б) $b ( x - y ) + ( x - y )$;
в) $4 a ( 7 x - 3 ) + 3 ( 3 - 7 x )$;
г) $8 m ( 2 a - 1 ) - ( 1 - 2 a )$.
3. Решите уравнение:
а) $4 x^{2} - x = 0$;
б) $0,7 x^{2} - 7 x = 0$;
в) $\frac{1}{5} a^{2} + a = 0$.
Контрольные вопросы
- Объясните, что значит «разложить многочлен на множители»?
- Назовите один из способов разложения на множители.
Упражнение 1
1. а) $y \left(y^{3} - 5 y - 1\right)$;
б) $4 x^{3} \left(4 x^{2} - x + 7\right)$;
в) $11 a n ( 1 - 2 n - 3 a )$.
2. а) $( a - b ) ( 5 + x )$;
б) $( x - y ) ( b + 1 )$;
в) $( 7 x - 3 ) ( 4 a - 3 )$;
г) $( 2 a - 1 ) ( 8 m + 1 )$.
3. а) $0 ; 0,25$;
б) $0 ; 10$;
в) $0 ; - 5$.
