Конспект урока: Разложение многочлена на множители способом группировки

Разложение многочлена на множители способом группировки

В предыдущем параграфе мы научились умножать многочлены. Однако в математике очень важна и обратная задача — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов, среди которых могут быть и одночлены. Данную задачу называют разложением многочлена на множители.

На практике разложение на множители довольно трудная задача, а иногда даже и не имеющая решения. Для чего же тогда нам нужно такое разложение? В математике оно широко используется при сокращении алгебраических  дробей, приведении их к общему знаменателю, при выполнении действий над алгебраическими выражениями,  при решении уравнений и в других случаях.

Мы с вами изучим ряд несложных приёмов для разложения многочленов на множители. С одним из них вы уже знакомы. Это вынесение общего множителя за скобки. 

Теперь рассмотрим следующий приём разложения многочлена на множители — способ группировки. Его применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Способ группировки основан на применении переместительного, сочетательного и распределительного законов умножения и сложения. Для того, чтобы понять суть данного способа рассмотрим несколько примеров.

Разложите на множители многочлен:

а) $x ( y + z ) + y + z$;

б) $x ( y - z ) - y + z$.

Решение

а) Поставим скобки следующим образом:

$x ( y + z ) + y + z = x ( y + z ) + ( y + z )$ 

Теперь мы видим, что появился общий множитель y+z, который можно вынести за скобки.

$x ( y + z ) + y + z = x ( y + z ) + ( y + z ) = ( y + z ) ( x + 1 )$ 

Таким образом, мы выполнили разложение на множители.

б) В данном примере объединим последние два слагаемых, предварительно поставив перед скобками минус:

$x ( y - z ) - y + z = x ( y - z ) - ( y - z )$ 

Теперь мы видим, что появился общий множитель y-z, который можно вынести за скобки.

$x ( y - z ) - y + z = x ( y - z ) - ( y - z ) = ( y - z ) ( x - 1 )$ 

Таким образом, мы выполнили разложение на множители.

Рассмотрим более сложный пример.

Разложите на множители:

а) $a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a$;

б) $6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z$;

в) $2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b$.

Решение

а) С помощью скобок объединим в одну группу первые два члена, а во вторую группу — последние два члена многочлена:

$a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a = \left(a b + 3 b\right) + \left(2 a^{2} + 6 a\right)$. 

Заметим, что в первой группе можно вынести за скобки общий множитель $b$, а во второй группе — общий множитель $2 a$. Получим:

$\left(a b + 3 b\right) + \left(2 a^{2} + 6 a\right) = b \left(a + 3\right) + 2 a \left(a + 3\right)$. 

Теперь появился общий множитель $a + 3$, который также можно вынести за скобки: 

$b ( a + 3 ) + 2 a ( a + 3 ) = ( a + 3 ) ( b + 2 a )$. 

Приведём решение примера ещё раз от начала до конца без комментариев:

$a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a = ( a b + 3 b ) + \left(2 a^{2} + 6 a\right) = b ( a + 3 ) + 2 a ( a + 3 ) =$

$= ( a + 3 ) ( b + 2 a )$.

б) Сгруппируем члены многочлена как в предыдущем примере. Объединим первый член многочлена со вторым и третий с четвертым.

$6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z = ( 6 x^{2} - 6 y z ) - ( 4 x y - 9 x z )$ 

Вынесем общие множители из каждой группы:

$\left(6 x^{2} - 6 y z\right) - ( 4 x y - 9 x z ) = 6 ( x^{2} – y z ) - x ( 4 y - 9 z )$ 

У полученных нами слагаемых общего множителя не оказалось. В этом случае, говорят, что группировка оказалась неудачной. 

Попробуем объединить в группу первый член многочлена с третьим, а второй с четвертым.

$6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z = \left(6 x^{2} - 4 x y\right) - ( 6 y z - 9 x z )$ 

Вынесем общие множители из каждой группы:

$\left(6 x^{2} - 4 x y\right) - ( 6 y z - 9 x z ) = 2 x ( 3 x - 2 y ) - 3 z ( 2 y - 3 x )$. 

Во второй группе вынесем минус за скобки и поменяем слагаемые местами:

$2 x ( 3 x - 2 y ) - 3 z ( 2 y - 3 x ) = 2 x ( 3 x - 2 y ) + 3 z ( 3 x - 2 y )$ 

Теперь появился общий множитель $3 x - 2 y$, который можно вынести за скобки. Эта группировка оказалась удачной.

$2 x ( 3 x - 2 y ) + 3 z ( 3 x - 2 y ) = ( 3 x - 2 y ) ( 2 x + 3 z )$ 

Ещё раз приведем решение целиком: 

$6x^2-6yz-4xy+9xz=\left(6x^2-4xy\right)-(6yz-9xz)=$
$=2x(3x-2y)-3z(2y-3x)=2x(3x-2y)+3z(3x-2y)=$

$=(3x-2y)(2x+3z)$

в) Иногда группировку можно проводить разными способами.

1 способ. Сгруппируем первый член многочлена со вторым, а третий с четвертым.

$2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b = ( 2 x a + 2 x b ) - ( 3 y a + 3 y b ) =$

$= 2 x ( a + b ) - 3 y ( a + b ) = ( a + b ) ( 2 x - 3 y )$

2 способ. Сгруппируем первый член многочлена с третьим, а второй с четвертым:

$2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b = ( 2 x a - 3 y a ) + ( 2 x b - 3 y b ) =$

$= a ( 2 x - 3 y ) + b ( 2 x - 3 y ) = ( 2 x - 3 y ) ( a + b )$

Подведем некоторые итоги.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы после вынесения из каждой группы общего для её членов множителя получить в скобках одинаковые выражения.

2) вынести за скобки это одинаковое выражение как общий множитель.

Не всегда с первого раза группировка бывает удачной. Если группировка оказалась неудачной, то нужно найти другой способ объединения членов многочлена в группы. По мере приобретения опыта вы сможете быстро находить удачные группировки.

Иногда полезно проверять себя. Для этого в полученном разложении на множители нужно выполнить операцию умножения многочленов (раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получился исходный многочлен.

1. Разложите на множители:

а) $x ( y + z ) + 3 ( y + z )$;

б) $b ( a - c ) + 5 a - 5 c$;

в) $a ( m - n ) - 2 m + 2 n$;

г) $x - y + \left( x - y \right)^{2}$.

2. Представить многочлен в виде произведения:

а) $5 a^{2} - 5 a x - 7 a + 7 x$;

б) $2 b y - 3 a x^{2} - 6 b y x + a x$;

в) $5 a y - 3 b x + a x - 15 b y$;

г) $35 a x + 24 x y - 20 a y - 42 x^{2}$.

Рассмотрим пример разложения на множители многочлена, состоящего из шести членов.

Разложите на множители: $x^{2} + 8 y - 3 x z + 2 x y - 12 z + 4 x$.

Решение

1 способ. Сгруппируем по три члена:

$x^2+8y-3xz+2xy-12z+4x=\left(x^2-3xz+2xy\right)+$
$+(8y-12z+4x)=x(x-3z+2y)+4(2y-3z+x)=$

$=x(x-3z+2y)+4(x-3z+2y)=(x-3z+2y)(x+4)\text{.}$

2 способ. Сгруппируем по два члена:

$x^2+8y-3xz+2xy-12z+4x=\left(x^2+4x\right)+(2xy+8y)+$
$+(-3xz-12z)=x(x+4)+2y(x+4)-3z(x+4)=$

$=(x+4)(x+2y-3z)\text{.}$

Решите уравнение $x^{2} + 3 x + 2 = 0$.

Решение

Чтобы решить данное уравнение, разложим многочлен в левой части на множители. На первый взгляд кажется, что здесь невозможно применить способ группировки, так как количество членов многочлена нечетное. Но мы можем прибегнуть к хитрости, и слагаемое $3 x$ представить в виде суммы двух слагаемых $x$ и $2 x$.

$x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + x + 2 x + 2$ 

Теперь можно применить способ группировки и разложить многочлен на множители:

$\displaylines{x^2+x+2x+2=\left(x^2+x\right)+(2x+2)=x(x+1)+2(x+1)=\\ =(x+1)(x+2)}$ 

Однако, нашей задачей было не просто разложить многочлен на множители, а решить уравнение. Вспомните, когда произведение двух множителей равно нулю? Когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получается, что либо $x + 1 = 0$, либо $x + 2 = 0$. Откуда получаем, что $x = - 1$ или $x = - 2$.

Ещё раз приведем полное решение без комментариев:

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

$x^{2} + x + 2 x + 2 = 0$

$\left(x^{2} + x\right) + \left(2 x + 2\right) = 0$

$x ( x + 1 ) + 2 ( x + 1 ) = 0$

$( x + 1 ) ( x + 2 ) = 0$

$x + 1 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x = - 1$ или  $x = - 2$

Ответ: -2; -1.

1. Разложите на множители:

а) $a x^{2} - a y - b x^{2} + c y + b y - c x^{2}$;

б) $a b - a^{2} b^{2} + a^{3} b^{3} - c + a b c - c a^{2} b^{2}$.

2. Вычислите рациональным способом:

а) $139 \cdot 15 + 18 \cdot 139 + 15 \cdot 261 + 18 \cdot 261$;

б) $14,7 \cdot 13 - 2 \cdot 14,7 + 13 \cdot 5,3 - 2 \cdot 5,3$.

3. Решите уравнение:

а) $( x^{2} - 5 x ) + x - 5 = 0$;

б) $6 x^{2} - 12 x + ( x - 2 ) = 0$.

4. Разложите многочлен на множители, представив один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

а) $x^{2} + 6 x + 8$;

б) $x^{2} - 5 x + 6$.

5*. Решите уравнение:

а) $x^{2} - 7 x + 6 = 0$;

б) $x^{2} + 9 x - 10 = 0$.