Конспект урока: Сложение и умножение числовых неравенств

Сложение и умножение неравенств

Рассмотрим, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.

Если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$.

К обеим частям неравенства $a < b$ прибавим число c и получим $a + c < b + c$. А к обеим частям неравенства $c < d$ прибавим число b, получим $b + c < b + d$. Тогда из неравенств $a + c < b + c$ и $b + c < b + d$ следует, что $a + c < b + d$.

Теорема справедлива и в случае почленного сложения и более двух неравенств. Сформулируем свойство сложения числовых неравенств. 

Если $a < b$ и $c < d$, где  a,b,c,d — положительные числа, то $a c < b d$.

Умножим обе части неравенства $a < b$ на число c и получим $a c < b c$. А обе части неравенства $c < d$ умножим на число b, получим $b c < b d$. Тогда из неравенств $a c < b c$ и $b c < b d$ следует, что $a c < b d$.

Теорема справедлива и в случае почленного умножения более двух неравенств указанного вида. Сформулируем свойство умножения числовых неравенств. 

Если почленно перемножить n верных неравенств $a < b$, в которых a и b — положительные числа, то получим верное неравенство $a^{n} < b^{n}$.

Применение свойств сложения и умножения числовых неравенств

Доказанные свойства используют для оценки суммы, разности, произведения и частного.

Зная, что  $2 < p < 3 \text{и} 4 < q < 5$, оцените значение выражения: 

а) $5 p + q$; б) $2 q - p$; в) $\frac{p q}{2}$; г) $\frac{p^{2}}{2 q}$.

Решение
 

а) Оценим сумму $5 p + q$.

Умножим на число 5 неравенства $2 < p$ и $p < 3$, получим $10 < 5 \text{ри} 5 p < 15$. Затем почленно сложим неравенства $10 < 5 \text{ри} 4 < q , 5 p < 15 \text{и} q < 5 ,$ получим $14 < 5 p + \text{qи} 5 p + q < 20$ , т.е. $14 < 5 p + q < 20$. 

Запись можно вести короче:
 

$10 < 5 p < 15$
$4 < q < 5$

$14 < 5 p + q < 20$
 

б) Оценим разность $2 q - p$.

Для этого преобразуем разность в сумму $2 q - p = ( - p ) + 2 q$. Получим оценку для $- \text{ри} 2 q$. Т.к. $2 < p < 3 , \text{т} o - 2 > - p > - 3$, т.е. $- 3 < - p < - 2$. Т.к. $4 < q < 5 , \text{т} o 8 < 2 q < 10 .$ Далее почленно сложим неравенства:
 

$- 3 < - p < - 2$
$8 < 2 q < 10$

$5 < 2 q - p < 8$
 

в) Оценим сначала произведение $p q$.

Т.к. все границы неравенств положительны, то можем применить теорему о почленном умножении: 
 

$2 < p < 3$
$4 < q < 5$

$8 < p q < 15$
 

Т.к. $8 < p q < 15$, то после деления на число 2 получим $4 < \frac{p q}{2} < 7,5$.
 

г) Частное $\frac{p^{2}}{2 q}$ представим как произведение $p^{2} \cdot \frac{1}{2 q}$.

Т.к. $2 < p < 3 , \text{т} o 4 < p^{2} < 9$. Т.к. $4 < q < 5 , \text{т} o \frac{1}{4} > \frac{1}{q} > \frac{1}{5}$. Таким образом, 

$4 < p^{2} < 9$

$\frac{1}{5} < \frac{1}{q} < \frac{1}{4}$

$\frac{4}{5} < \frac{p^{2}}{q} < \frac{9}{4}$

После деления на число 2 получаем $\frac{2}{5} < \frac{p^{2}}{2 q} < \frac{9}{8}$.

Ответ: а) $14 < 5 p + q < 20$; б) $5 < 2 q - p < 8$; в) $4 < \frac{p q}{2} < 7,5$; г) $\frac{2}{5} < \frac{p^{2}}{2 q} < \frac{9}{8}$.

1. Зная, что  $1 < x < 2 \text{и} 2 < y < 3$, оцените значение выражения: 

а) $x + y$; б) $x - y$; в) $x y$; г) $\frac{x}{y}$.

2. Зная, что $2 < p < 3 \text{и} 3 < q < 4$, оцените значение выражения:

а) $p + 2 q$; б) $2 q - p$; в) $3 p q$; г) $\frac{p^{2}}{4 q}$.

Сформулируйте теоремы, выражающие свойства почленного сложения и умножения числовых неравенств.