Конспект урока: Дробные рациональные уравнения

Дробное рациональное уравнение

Следующий тип уравнений, который необходимо уметь решать, — это дробные рациональные уравнения. С простейшими примерами дробных рациональных уравнений вы уже встречались. Вспомним, какие уравнения являются таковыми.

Каждое из следующих уравнений является дробным рациональным.

$\frac{2 x}{x^{2} + 5} = \frac{4}{x + 1}$, $\frac{4}{x^{3}} = \frac{1}{2}$, $1 - 3 x = \frac{1}{x + 6}$.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений

При решении дробных рациональных уравнений, как вам известно, обычно поступают следующим образом:

1. находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2. умножают обе части уравнения на этот знаменатель;

3. решают получившееся целое уравнение;

4. исключают из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

Рассмотрим несколько примеров.

Решить уравнение: 

$\frac{x^{3}}{( x^{2} - 4 ) ( x^{2} + 2 )} = \frac{4 x}{x^{4} - 2 x^{2} - 8} - \frac{3}{x^{2} + 2}$.

Решение

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен $x^{4} - 2 x^{2} - 8$, так как если раскрыть скобки в знаменателе первой дроби, то получим

$( x^{2} - 4 ) ( x^{2} + 2 ) = x^{4} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 8 = x^{4} - 2 x^{2} - 8$.

Умножив обе части уравнения на общий знаменатель, получим

$x^{3} = 4 x - 3 ( x^{2} - 4 )$.

Раскрыв скобки, имеем

$x^{3} = 4 x - 3 x^{2} + 12$, $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$.

Решаем полученное целое уравнение, используя разложение левой части на множители с помощью метода группировки. Тогда

$x^{2} ( x + 3 ) - 4 ( x + 3 ) = 0$,

$( x + 3 ) ( x^{2} - 4 ) = 0$,

$( x + 3 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 0$.

Т.е.  уравнение $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$ имеет три корня:

$x_{1} = - 3$, $x_{2} = 2$, $x_{3} = - 2$.

Проверим, не обращают ли найденные корни в нуль общий знаменатель дробей$x^{4} - 2 x^{2} - 8$:

при $x = - 3$ имеем $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = ( - 3 )^{4} - 2 \cdot ( - 3 )^{2} - 8 = 55 \neq 0$;

при $x = 2$ имеем $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 2^{4} - 2 \cdot 2^{2} - 8 = 0$;

при $x = - 2$ имеем $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = ( - 2 )^{4} - 2 \cdot ( - 2 )^{2} - 8 = 0$.

Значит, исходное уравнение имеет единственный корень $x = - 3$.

Ответ: -3.

Решить уравнение: 

$\frac{1}{x - 6} + \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 7}$.

Решение

Если перенести все выражения в левую часть и привести все к общему знаменателю, то получим большие преобразования, в которых легко допустить ошибку. Поэтому поищем другой способ решения.

Перенесем дробь $\frac{1}{x - 4}$ в правую часть, а дробь $\frac{1}{x - 7}$ в левую часть

$\frac{1}{x - 6} - \frac{1}{x - 7} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 4}$

Приведем к общему знаменателю по отдельности правую и левую части:

$\frac{x - 7 - x + 6}{( x - 6 ) ( x - 7 )} = \frac{x - 4 - x - 2}{( x + 2 ) ( x - 4 )}$

Преобразуем правую и левую части 

$\frac{- 1}{x^{2} - 13 x + 42} = \frac{- 6}{x^{2} - 2 x - 8}$,

$\frac{1}{x^{2} - 13 x + 42} = \frac{6}{x^{2} - 2 x - 8}$.

Получим уравнение, которое можно решить с помощью основного свойства пропорции. Решим его

$6 ( x^{2} - 13 x + 42 ) = x^{2} - 2 x - 8$,

$5 x^{2} - 76 x + 260 = 0$,

$x_{1} = 10$, $x_{2} = 5,2$.

Корни уравнения $5 x^{2} - 76 x + 260 = 0$, не обращают в нуль никакой знаменатель исходного уравнения, т.е. $x_{1} = 10$, $x_{2} = 5,2$ - корни исходного уравнения.

Ответ:  $x_{1} = 10$, $x_{2} = 5,2$.

Решить уравнение: 

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 7} = 5 x - x^{2} - 5$.

Решение

Перенесем все слагаемые в одну сторону 

$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 7} + x^{2} - 5 x + 5 = 0$

Введем переменную $y = x^{2} - 5 x$. Получим новое уравнение с новой переменной:

$\frac{1}{y + 7} + y + 5 = 0$.

Умножим полученное уравнение на $y + 7$и решим целое уравнение:

$1 + ( y + 5 ) ( y + 7 ) = 0$,

$y^{2} + 12 y + 36 = 0$,

$y_{1} = y_{2} = - 6$.

Заметим, что решение $y = - 6$не обращает в нуль знаменатель $y + 7$для уравнения с новой переменной. Значит, можно делать обратную замену.

Обратная замена:

$x^{2} - 5 x = - 6$.

Решением данного уравнения являются числа $x_{1} = 2$ и $x_{2} = 3$. Эти же корни являются решениями для исходного уравнения.

Ответ: 2; 3.

Решите уравнение:

1. $\frac{2 x - 3}{x} = \frac{3 - 2 x}{2 x^{2} - 4 x}$,
2. $\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 3}$,
3. $\frac{x^{2} + 4 x - 1}{x^{2} + 4 x - 3} = 1 + \frac{1}{x^{2} + 4 x - 4}$.