- Неравенство с двумя переменными
- Графическое изображение решения неравенства с двумя переменными
- Примеры
- Знать, что называют решением неравенства с двумя переменными
- Уметь находить решения неравенства с двумя переменными
- Уметь графически изображать решение неравенства с двумя переменными
- Решите неравенство $2 x + 5 > 7$
- Решите неравенство $x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$
Неравенства с двумя переменными
Неравенства играют фундаментальную роль в математике, без них не может обойтись большинство дисциплин, например, физика, экономика, математическая статистика. Неравенства встречаются как в классических разделах математики, таких, как геометрия, теория чисел, так и в современных ее разделах. Многие из результатов, касающихся неравенств, были получены и применены как вспомогательные средства в геометрии, физике или астрономии, а затем были снова открыты много лет спустя.
Неравенством с двумя переменными является любое из следующих неравенств:
$5 x + 3 > y , x^{2} + 3 \leq y , x y \geq 9 , x^{2} + y^{2} < 4$.
Если в неравенство $5 x + 3 > y$ подставить вместо переменных значения $x = 1$ и $y = 5$, то оно обратится в верное числовое неравенство $5 \cdot 1 + 3 > 5$ Получили, что пара чисел $( 1 ; 5 )$ является решением этого неравенства.
Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.
Графическое изображение решения неравенства с двумя переменными
Определим алгоритм изображения на координатной плоскости множества решений на примере неравенства $y + 2 x \leq 3$.
Все неравенства с одной переменной мы решали, используя соответствующие им уравнения. Тогда можно сделать вывод, что и для решения неравенств с двумя переменными также понадобится решение соответствующего уравнения с двумя переменными.
Преобразуем неравенство к виду $y \leq - 2 x + 3$. График уравнения $y = - 2 x + 3$, мы строить умеем. Построим прямую на координатной плоскости сплошной линией (аналогия с закрашенными точками), т. к. исходное неравенство нестрогое (рис. 1). Прямая разделила координатную плоскость на две части.
Рис. 1. Решение неравенства y+2x≤3
Проведем аналогию с решением неравенств с одной переменной. Вспомним, чтобы решить неравенство с одной переменной необходимо отметить все корни (нули) соответствующего ему уравнения, а после выбрать нужный промежуток. Следовательно, в случае неравенства с двумя переменными необходимо выбрать нужные области.
Вернемся к неравенству $y \leq - 2 x + 3$. Выберем в каждой области точку (рис. 1): в области I точку $A ( 2 ; 3 )$ и в области II — $B ( - 2 ; 1 )$. Подставим координаты обеих точек в неравенство и проверим какие из них обращают его в верное числовое неравенство. Получим:
$A ( 2 ; 3 ) : 3 \leq - 2 \cdot 2 + 3$; $3 \leq - 1$ — неверно;
$B ( - 2 ; 1 ) : 1 \leq - 2 \cdot ( - 2 ) + 3$; $1 \leq 7$ — верно.
Проверка показала, что точка области II обращает неравенство $y \leq - 2 x + 3$ в верное числовое неравенство. Значит, область II является решением этого неравенства (на рис. 1 изображена голубым цветом).
Подведем итог и запишем алгоритм решения неравенства с двумя переменными.
Чтобы решить неравенство с двумя переменными нужно:
1. написать соответствующее уравнение с двумя переменными;
2. изобразить на координатной плоскости график этого уравнения (пунктиром для строгого неравенства, сплошной линией для нестрогого неравенства);
3. определить, какая область является решением исходного неравенства (подставить координаты точки, лежащей в конкретной области).
Пример 1
Изобразите решение неравенства $x y > 5$.
Решение:
Рис. 2. Решение неравенства xy>5
Построим в координатной плоскости график уравнения $x y = 5$.
Графиком этого уравнения является гипербола, которая изображается пунктиром, так как неравенство строгое (рис. 2).
Гипербола разделила плоскость на три области. Выберем в каждой точку: в области I точку $A ( 2 ; 5 )$, в области II — $B ( 1 ; 2 )$ и в области III — $C ( - 5 ; - 3 )$.
Подставим координаты этих точек в исходное неравенство $x y > 5$:
$A ( 2 ; 5 ) : 2 \cdot 5 > 5$ — верно;
$B ( 1 ; 2 ) : 1 \cdot 2 > 5$ — неверно;
$C ( - 5 ; - 3 ) : - 5 \cdot ( - 3 ) > 5$ — верно.
Получили, что области I и III являются решениями неравенства $x y > 5$ (изображены на рис. 2 голубым цветом).
Пример 2
Изобразите решение неравенства $y \leq - x^{2} + 4 x + 5$.
Решение
2+4x+5" loading="lazy" />
Рис. 3. Решение неравенства y≤–x2+4x+5
Построим в координатной плоскости график уравнения $y = - x^{2} + 4 x + 5$.
Графиком этого уравнения является парабола, которая изображается сплошной линией, так как неравенство нестрогое (рис. 3).
Парабола разделила плоскость на две области. Выберем в каждой точку: в области I (вне параболы) точку $A ( 6 ; 2 )$, в области II (под параболой) — $B ( 2 ; - 4 )$.
Подставим координаты этих точек в исходное неравенство $y \leq - x^{2} + 4 x + 5$:
$A ( 6 ; 2 ) : 2 \leq - 6^{2} + 4 \cdot 6 + 5 ; 2 \leq - 7$ — неверно;
$B ( 2 ; - 4 ) : - 4 \leq - 2^{2} + 4 \cdot 2 + 5 ; - 4 \leq 9$ — верно.
Получили, что область II является решением неравенства $y \leq - x^{2} + 4 x + 5$ (изображена на рис. 3 голубым цветом).
Упражнение 1
1. Изобразите решение неравенства $y - x > 1$.
2. Изобразите решение неравенства $x y \leq 3$.
3. Изобразите решение неравенства $y - x^{2} < - 3$.
Контрольные вопросы
1. Как изобразить решение неравенства с двумя переменными на координатной плоскости?
2. Входит ли прямая или кривая, являющаяся решением соответствующего уравнения, в область решения неравенства?
3. На какое максимальное количество областей можно разделить плоскость известными графиками функций?
Упражнение 1
1.
2.
3.
