- Неравенства второй степени с одной переменной;
- Алгоритм решения неравенств.
- Знать определение неравенства второй степени с одной переменной, алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной;
- Уметь решать неравенства второй степени с одной переменной.
- Какие есть способы решения квадратных уравнений?
- При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?
- При каком значении коэффициента $a$ ветви параболы, графика квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$, направлены вверх?
Неравенства второй степени с одной переменной
В жизни вы часто сталкиваетесь со сравнениями: ценами в разных магазинах, доходов и расходов. Неравенства так же, как и уравнения, помогают решать важные задачи математики, экономики, практической жизнедеятельности. Например, в экономике есть зависимость прибыли от объема производства, и важно понимать, при каком объеме производства прибыль будет превышать издержки. Поэтому уметь решать неравенства также необходимо.
Одними из ключевых неравенств являются неравенства второй степени с одной переменной.
Неравенства вида $a x^{2} + b x + c > 0$ и $a x^{2} + b x + c < 0$, где $x$ - переменная, $a$, $b$ и $c$ - некоторые числа и $a \neq 0$ называют неравенствами второй степени с одной переменной.
Алгоритм решения неравенства второй степени
Вам известно, что решение любого неравенства, в отличии от решения уравнения, в основном, есть промежуток или несколько промежутков. Тогда решить неравенство вида $a x^{2} + b x + c > 0$ или $a x^{2} + b x + c < 0$ означает найти промежутки, где выражение $a x^{2} + b x + c$ принимает положительные или отрицательные значения.
Решение неравенства второй степени очень похоже на решение квадратного уравнения. Отличие состоит в том, что после нахождения корней квадратного трёхчлена, которые разбивают область определения на промежутки, необходимо выбрать нужные промежутки. Приведем алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.
Алгоритм решения неравенств вида $a x^{2} + b x + c > 0$ и $a x^{2} + b x + c < 0$
- Найти дискриминант квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ и выяснить имеет ли трёхчлен корни.
- Если трёхчлен имеет корни, то отметить их на оси $x$ и через них провести схематически параболу, ветви которой направлены вверх при $a > 0$или вниз при $a < 0$; если трёхчлен не имеет корней, то схематически изобразить параболу, расположенную в верхней полуплоскости при $a > 0$или в нижней полуплоскости при $a < 0$.
- Найти на оси $x$ промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси $x$ (если решают неравенство $a x^{2} + b x + c > 0$) или ниже оси $x ,$ если решают неравенство $a x^{2} + b x + c < 0$.
Пример 1
Решить неравенство $x^{2} - 3 x + 2 > 0$.
Решение
1. Найдем корни трёхчлена $x^{2} - 3 x + 2$, для этого решим уравнение:
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$,
$D = ( - 3 )^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1$,
$x_{1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$, $x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$.
x2 – 3x + 2 > 0" loading="lazy" />
Рис. 1. Решение неравенства x2 – 3x + 2 > 0
2. Квадратный трёхчлен имеет два корня. Это значит, что парабола, заданная функцией $y = x^{2} - 3 x + 2$, пересекает ось $x$ в двух точках, причём ветви параболы направлены вверх, так как $a = 1$.
3. Изобразим эту параболу и отметим промежутки, на которых парабола находится в верхней полуплоскости.
По рисунку 1 видно, что парабола лежит выше оси $x$на промежутках $( - \infty ; 1 )$ и $( 2 ; + \infty )$. Значит, решением неравенства является объединение этих промежутков, т.е. $( - \infty ; 1 ) \cup ( 2 ; + \infty )$.
Ответ: $( - \infty ; 1 ) \cup ( 2 ; + \infty )$.
По рисунку 1 также можно сделать вывод, что решением неравенства $x^{2} - 3 x + 2 < 0$, будет интервал $\left(1 ; 2\right)$, т.к. на этом промежутке парабола лежит ниже оси $x$.
Пример 2
Решить неравенство $- x^{2} + 6 x - 9 < 0$.
Решение
1. Найдем корни трёхчлена $- x^{2} + 6 x - 9$:
$- x^{2} + 6 x - 9 = 0$, $x^{2} - 6 x + 9 = 0$
$D = ( - 6 )^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0$
$x = \frac{6}{2} = 3$.
-x2 + 6x - 9 < 0" loading="lazy" />
Рис. 2 Решение неравенства -x2 + 6x - 9 < 0
2. Квадратный трёхчлен имеет один корень. Это значит, что парабола, заданная функцией $y = - x^{2} + 6 x - 9$, пересекает ось $x$ в одной точке, ее ветви направлены вниз, так как $a = - 1$.
Изобразим эту параболу и отметим промежутки, на которых парабола находится в нижней полуплоскости.
По рисунку 2 видно, что парабола лежит ниже оси $x$на промежутках $( - \infty ; 3 )$и $( 3 ; + \infty )$. Значит, решением неравенства является объединение этих промежутков, т.е. $( - \infty ; 3 ) \cup ( 3 ; + \infty )$.
Ответ: $( - \infty ; 3 ) \cup ( 3 ; + \infty )$.
Обратим внимание, что неравенство $- x^{2} + 6 x - 9 > 0$ не имеет решения, так как по рисунку 2 видно, что вся парабола лежит не выше оси $x$.
Пример 3
Решить неравенство $5 x^{2} + 3 x + 2 > 0$.
Решение
1. Найдем корни трёхчлена $5 x^{2} + 3 x + 2$:
$5 x^{2} + 3 x + 2 = 0$,
$D = ( 3 )^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2 = - 31 < 0$,
т.е. корней нет.
2+3x+2>0" loading="lazy" />
Рис. 3. Решение неравенства 5x2+3x+2>0
2. Квадратный трёхчлен не имеет корней. Это значит, что парабола, заданная функцией $y = 5 x^{2} + 3 x + 2$, не пересекает ось $x$. Её ветви направлены вверх, так как $a = 5$.
3. Изобразим эту параболу и отметим промежутки, на которых парабола находится в верхней полуплоскости.
По рисунку 3 видно, что вся парабола лежит выше оси $x$. Значит, решение – множество всех действительных чисел.
Ответ: $x$ - любое число.
Заметим, что неравенство $5 x^{2} + 3 x + 2 < 0$ не имеет решения, так как по рисунку 3 видно, что вся парабола лежит выше оси $x$.
Упражнение
Решить неравенство:
- $2 x^{2} + 5 x - 3 \geq 0$
- $- x^{2} - 5 x - 6 > 0$
- $9 x^{2} - 6 x + 1 \leq 0$
- $2 x^{2} - 5 x + 7 < 0$
Контрольные вопросы:
1. Как решить неравенство второй степени с одной переменной?
2. Может ли неравенство второй степени с одной переменной не иметь решения?
3. Чем отличается решение неравенства $x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$ от решения неравенства $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ из примера 1?
Упражнение
1. $( - \infty ; - 3 \left]\right. \cup [ \frac{1}{2} ; + \infty )$. 2. $\left(- 3 ; - 2\right)$. 3. $x = \frac{1}{3}$. 4. нет решений
