Конспект урока: Уравнение с двумя переменными и его график

Уравнение с двумя переменными

Мы уже много раз говорили о необходимости уметь решать уравнения, и вы уже умеете решать некоторые виды уравнений с одной переменной. Но в задачах довольно часто встречаются уравнения с несколькими переменными. Рассмотрим уравнения с двумя переменными.

Очевидно, что новый вид уравнения отличается от старых в первую очередь тем, что теперь оно будет содержать сразу две переменные. Каждое из следующих уравнений является тем самым уравнением с двумя переменными

$4 x + 5 y = 14$, $x^{2} + 5 = y$, $y^{2} + 2 x^{2} - x = 1$.

Решить уравнение с одной переменной $x$ означало, что необходимо найти такое значение $x$, при котором уравнение обращалось в верное равенство. Значит, можно сделать вывод, что для того, чтобы решить уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, необходимо найти значения для $x$ и $y$, при которых уравнение обращается в верное равенство. Это второе отличие.

Для уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ решение записывается в виде пары чисел $( x_{0} ; y_{0} )$, где $x_{0} , y_{0}$ - решение этого уравнения.

Например, для уравнения $4 x + 5 y = 14$ пара чисел $( 1 ; 2 )$ является решением уравнения, так как при подстановке $4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 14$, $14 = 14$, получаем верное равенство.

Уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечное множество решений.

Для того, чтобы определить степень уравнения с двумя переменными, необходимо привести его к виду, где левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая часть – нуль. Тогда степень уравнения будет совпадать со степенью этого многочлена.

Определить степень уравнения с двумя переменными 

$( 3 x - 2 y^{2} )^{2} = 9 x^{2} - 1$.

Решение

Преобразуем уравнение. Для этого раскроем скобки, перенесем слагаемые из правой части в левую и приведем подобные слагаемые:

$9 x^{2} - 12 x y^{2} + 4 y^{4} - 9 x^{2} + 1 = 0$,

$4 y^{4} - 12 x y^{2} + 1 = 0$.

В левой части получили многочлен $4 y^{4} - 12 x y^{2} + 1$, степень которого равна 4. Значит, степень уравнения $( 3 x - 2 y^{2} )^{2} = 9 x^{2} - 1$ тоже равна 4.

Ответ: 4.

1. Определить какие пары чисел являются решениями уравнения $y^{2} + 2 x^{2} - x = 1$

а) (1; 0)  б) (-1; 1)   в) (0; 1)    г) (0: -1)   д) (2; 2)

2. Определить степень уравнения $( x^{2} + y^{3} )^{2} = ( y^{2} - 1 )^{3}$

График уравнения с двумя переменными

Мы уже выяснили, что решением уравнения с двумя переменными является пара чисел и, как правило, таких решений бесконечно много. Эти решения можно изобразить на координатной плоскости.

Графики некоторых уравнений вы уже умеете строить. Например, график линейного уравнения $a x + b y = c$, где $a \neq 0$и $b \neq 0$, — это прямая, а график уравнения $y = a x^{2} + b x + c$ — парабола.

Но вообще графики уравнений с двумя переменными могут принимать абсолютно любой вид. На рисунке 1 вы можете увидеть некоторые из них.

2+y² )²=3xy и (x²+y²-1)³-x² y³=0" loading="lazy" /> Рис. 1. Графики функций (x²+y² )²=3xy и (x²+y²-1)³-x² y³=0

Уравнение окружности и ее график

Рис.2. Окружность с центром в начале координат радиуса R

Построим в системе координат окружность с центром в начале координат радиуса $R$(рис. 2). Отметим на окружности точку $A .$ Пусть точка $A$ имеет координаты $( x_{0} ; y_{0} )$. Соединим центр окружности с точкой $A$. Получим отрезок $O A$, длина которого равна радиусу окружности $R$. Опустим перпендикуляр $A B$на ось $x$. Получили прямоугольный треугольник $A B O$, гипотенуза которого $A O = R$, а катеты 

$A B = | y_{0} |$, $B O = | x_{0} |$.  Длины сторон прямоугольного треугольника, как вам известно, связаны с помощью теоремы Пифагора: $B O^{2} + A B^{2} = A O^{2}$. Таким образом, имеем, что $| x_{0} |^{2} + | y_{0} |^{2} = R^{2}$ или $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = R^{2}$.

Так как точку на окружности мы выбрали произвольным образом, то получившееся равенство верно для любой точки, принадлежащей окружности и имеющей координаты $( x ; y )$.

Таким образом, уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом $R$ служит уравнение вида $x^{2} + y^{2} = R^{2}$.

0)²+(y-y₀)²=R²" loading="lazy" /> Рис. 3. График окружности (x-x₀)²+(y-y₀)²=R²

Известно, что параллельный перенос применим для графика любой функции, значит, можно применить сдвиги вдоль осей $x$ и $y$ для центра окружности. Тогда уравнение окружности с центром в точке $A_{0} ( x_{0} ; y_{0} )$ и радиусом $R$ (рис. 3) имеет вид $( x - x_{0} )^{2} + ( y - y_{0} )^{2} = R^{2}$.

Написать уравнение окружности с центром в точке $A_{0} ( - 1 ; 2 )$ и радиусом $R = 3$ и построить график этой окружности.

(x + 1)² + (y – 2)² = 9" loading="lazy" /> Рис. 4. График окружности 
(x + 1)² + (y – 2)² = 9

Решение

 

Подставив в уравнение окружности $( x - x_{0} )^{2} + ( y - y_{0} )^{2} = R^{2}$ значения координат центра и радиуса окружности, получим 

 

$( x - ( - 1 ) )^{2} + ( y - 2 )^{2} = 3^{2}$

$( x + 1 )^{2} + ( y - 2 )^{2} = 9$

 

Для того, чтобы построить окружность в координатной плоскости, нужно отметить центр в точке $A_{0} ( - 1 ; 2 )$, а далее с помощью циркуля нарисовать окружность, радиус которой будет равен 3 (рис. 4).

 

Ответ: $( x + 1 )^{2} + ( y - 2 )^{2} = 9$.

Ответы

Упражнение 1

 

1. а, в, г. 2. 5.

 

Упражнение 2

 

1. $( x - 2 )^{2} + ( y - 3 )^{2} = 25$. 
2.