- Квадратичная функция
- Функция $y = a x^{2}$ и её график в зависимости от значения $a$
- Свойства функции $y = a x^{2}$
- Знать определение квадратичной функции;
- Уметь строить график функции $y = a x^{2}$;
- Знать свойства функции $y = a x^{2}$.
- Как называется график функции $y = x^{2}$?
- В чем отличие графиков функций $y = x^{2}$ и $y = - x^{2}$?
- Как построить график функции $y = x^{2}$?
Квадратичная функция
2" loading="lazy" />
Рис. 1. График функции y=x2
С несколькими функциями и их графиками вы уже знакомы. Парабола, которая служит графиком функции $y = x^{2}$ (рис. 1), - одна из них. Параболу можно встретить везде и не только в объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, бокалах и даже сёдлах для лошади, но и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов и в других знакомых нам объектах.
Рис. 2. Параболическая траектория
Парабола задает форму изгиба спутниковых тарелок. Также по параболической траектории летят в воздухе пушечные ядра, лыжники-фристайлеры и взмывают из воды дельфины (рис. 2).
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида:
$y = a x^{2} + b x + c$,
где $x$ - независимая переменная, $a$, $b$ и $c$ – некоторые числа, причём $a \neq 0$.
Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел $x \in ( - \infty ; + \infty )$.
Одним из самым популярных примеров квадратичной функции является зависимость координаты тела от времени при равноускоренном движении. Эта зависимость выражается формулой:
$x ( t ) = \frac{a t^{2}}{2} + v_{0} t + x_{0}$,
где $a$ (м/c2) – ускорение тела, $v_{0}$ (м/c) – начальная скорость движения, $x_{0}$ (м) - начальная координата, $t$ (c) – время, $x$ (м) – координата тела.
Если, например, $a = 8$, $v_{0} = 7$, $x_{0} = 1$, то
$x ( t ) = 4 t^{2} + 7 t + 1$.
Функция $y = a x^{2}$ и её график в зависимости от значения $a$
Изучение квадратичной функции начнем с частного случая – функции $y = a x^{2}$.
При $a = 1$ формула $y = a x^{2}$ принимает вид $y = x^{2}$. Об этой функции и её графике мы поговорили в самом начале (рис.1).
Построим график функции $y = 4 x^{2}$ (рис.3а).
Составим таблицу значений этой функции:
|
$x$
|
-2
|
-1.5
|
-1
|
-0.5
|
0
|
0.5
|
1
|
1.5
|
2
|
|
$y$
|
16
|
9
|
4
|
1
|
0
|
1
|
4
|
9
|
16
|
При любом $x \neq 0$ значения функции $y = 4 x^{2}$ больше соответствующего значения функции $y = x^{2}$ в 4 раза. Получаем, что все точки графика функции $y = 4 x^{2}$ можно получить путем перемещения точек графика функции $y = x^{2}$ вверх так, чтобы расстояние от оси $x$ до каждой точки увеличилось в 4 раза. Иными словами, график функции $y = 4 x^{2}$ можно получить из параболы $y = x^{2}$ растяжением от оси $x$ в 4 раза (рис. 3. б).
2, б) Графики функции y=4x2 и y=x2" loading="lazy" />
Рис. 3. а) График функции y=4x2, б) Графики функции y=4x2 и y=x2
Теперь построим график функции $y = \frac{1}{4} x^{2}$ и $y = - \frac{1}{4} x^{2}$. Для этого составим таблицу значений для первой функции:
|
$x$
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
$y$
|
4
|
2.25
|
1
|
0.25
|
0
|
0.25
|
1
|
2.25
|
4
|
Составим таблицу значений для второй функции:
|
$x$
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
$y$
|
-4
|
-2.25
|
-1
|
-0.25
|
0
|
-0.25
|
-1
|
-2.25
|
-4
|
Рис. 4. Графики функций
Построим оба графика в одной координатной плоскости (рис. 4).
Сравнив таблицы значений и графики функций $y = \frac{1}{4} x^{2}$ и $y = - \frac{1}{4} x^{2}$, можно увидеть, что при любом $x \neq 0$ значения этих функций являются противоположными числами. Таким образом, можно сделать вывод, что графики этих функций симметричны относительно оси $x$.
Графики функций $y = a x^{2}$ и $y = - a x^{2}$ (при $a \neq 0$) симметричны относительно оси $x$.
График функции $y = a x^{2}$, где $a \neq 0$, как и график функции $y = x^{2}$ называется параболой.
Упражнение 1
- Постройте график функции $y = 1,5 x^{2}$.
- Постройте график функции $y = - \frac{2}{3} x^{2}$.
Свойства функции $y = a x^{2}$
Сформулируем свойства функции $y = a x^{2}$ при $a > 0$.
- Область определения функции - множество всех действительных чисел, т. е. $D ( y ) = ( - \infty ; + \infty )$.
- Если $x = 0$, то $y = 0$. График функции проходит через начало координат.
- Если $x \neq 0$, то $y > 0$. График расположен в верхней полуплоскости.
- Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси $y$. Функция является чётной.
- Функция убывает на промежутке $( - \infty ; 0 \left]\right.$ и возрастает на промежутке
- Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при $x = 0 ,$ наибольшего значения функция не имеет.
- Область значений функции - множество неотрицательных чисел, т. е. $E ( y ) = [ 0 ; + \infty )$.
Теперь сформулируем свойства функции $y = a x^{2}$ при $a < 0$.
- Область определения функции - множество действительных чисел, т. е. $D ( y ) = ( - \infty ; + \infty )$.
- Если $x = 0$ то $y = 0$. График функции проходит через начало координат.
- Если $x \neq 0$, то $y < 0$. График расположен в нижней полуплоскости.
- Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси $y$. Функция является чётной.
- Функция возрастает на промежутке $( - \infty ; 0 \left]\right.$ и убывает на промежутке $[ 0 ; + \infty )$.
- Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при $x = 0$, наименьшего значения функция не имеет.
- Область значений функции - множество неположительных чисел, т. е. $E ( y ) = ( - \infty ; 0 \left]\right.$.
Из перечисленных свойств следует, что при $a > 0$ ветви параболы $y = a x^{2}$ направлены вверх, а при $a < 0$ - вниз. Ось $y$ является осью симметрии параболы.
Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы.
График функции $y = - f ( x )$можно получить из графика функции $y = f ( x )$ с помощью симметрии относительно оси $x$.
График функции $y = a f ( x )$ можно получить из графика функции $y = f ( x )$ с помощью растяжения от оси $x$ в $a$ раз, если $a > 1$, и с помощью сжатия к оси $x$ в $\frac{1}{a}$ раза, если $0 < a < 1$.
Упражнение 2
- Опишите свойства функции $y = 1,5 x^{2}$;
- Опишите свойства функции $y = - \frac{2}{3} x^{2}$.
Контрольные вопросы:
1. Что называют квадратичной функцией?
2. Какие свойства функции $y = a x^{2}$ являются одинаковыми для положительных и отрицательных значений коэффициента $a$?
3. Как получить график функции $y = - 4 x^{2}$ из графика функции $y = x^{2} ,$ используя симметрию и растяжение/сжатие?
Упражнение 1
1.
2.
Упражнение 2
1. область определения $x \in ( - \infty ; + \infty )$; область значений $y \in [ 0 ; + \infty )$; чётная; функция возрастает на $[ 0 ; + \infty )$; функция убывает на $( - \infty ; 0 \left]\right.$; $x = 0$ – нуль функции; наименьшее значение функции $y = 0$ при $x = 0$; наибольшего значения нет.
2. область определения $x \in ( - \infty ; + \infty )$; область значений $y \in ( - \infty ; 0 \left]\right.$; чётная; функция возрастает на $( - \infty ; 0 \left]\right.$ функция убывает на $[ 0 ; + \infty )$; $x = 0$ – нуль функции; наибольшее значение функции $y = 0$, при $x = 0$; наименьшего значения нет.
[/section] [/section]
