- Степенная функция $y = x^{n}$;
- Свойства степенной функции $y = x^{n}$ при чётном $n$;
- Свойства степенной функции $y = x^{n}$ при нечётном $n$.
- Знать что такое степенная функция;
- Знать свойства степенной функции в зависимости от показателя степени $n$;
- Уметь схематически строить график степенной функции.
- Как выглядят графики функций $y = x^{2}$ и $y = x^{3}$?
- Вспомните свойства степеней с целым показателем.
Степенная функция $y = x^{n}$
Функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека. Во многих областях науки при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая степенная зависимость между двумя переменными величинами, участвовавшими в данном процессе.
При радиоактивном распаде скорость распада или восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (соответственно восстанавливается) половина вещества. По закону степенной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия.
Рассмотрим функцию, заданную формулой $y = x^{n}$, где $x$ — независимая переменная, а $n$ — натуральное число.
Функцию вида $y = x^{n}$, где $x$ — независимая переменная, а $n$ — натуральное число, называют степенной функцией с натуральным показателем.
Степенные функции при $n = 1,2$и $3$, т.е. функции $y = x$, $y = x^{2}$ и $y = x^{3}$, вы уже рассматривали. Их свойства и графики вам известны.
Выясним теперь свойства степенной функции и особенности её графика при любом натуральном $n$. Выражение $x^{n}$, где $n$ — натуральное число, имеет смысл при любом $x$.
Областью определения степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел.
Свойства степенной функции $y = x^{n}$ при чётном $n$
Сначала рассмотрим случай, когда показатель $n$ - чётное число. На рисунке 1 изображены графики функций $y = x^{2}$ и $y = x^{4}$.
2 и y=x4" loading="lazy" />
Рис. 1. Графики функций y=x2 и y=x4
Свойства функции $y = x^{n}$ при чётном $n$ аналогичны свойствам функции $y = x^{2} .$
Свойства
1. Если $x = 0$, то $y = 0$. График функции проходит через начало координат.
2. Если $x \neq 0$, то $y > 0$. Это следует из того, что чётная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна. График функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Это следует из того, что при чётном $n$ равенство $( - x )^{n} = x^{n}$ верно при любых значениях $x$.
4. Функция возрастает в промежутке $[ 0 ; + \infty )$ и убывает в промежутке $( - \infty ; 0 \left]\right.$.
5. Область значений функции есть множество неотрицательных чисел — $y \in [ 0 ; + \infty )$.
n при четном показателе n" loading="lazy" />
Рис. 2. График функции y=xn при четном показателе n
На рисунке 2 показано, как выглядит график функции $y = x^{n}$ при чётном показателе $n$.
График степенной функции $y = x^{n}$ при чётном показателе $n$ пересекает любая прямая $y = a$, если $a \geq 0$. Если же $a < 0$, то прямая $y = a$ не пересекает график.
Свойства степенной функции $y = x^{n}$ при нечётном $n$
Рассмотрим случай, когда показатель $n$ — нечётное число. На рисунке 3 изображены графики функций $y = x^{3}$ и $y = x^{5}$.
3 и y=x5" loading="lazy" />
Рис. 3. Графики функций y=x3 и y=x5
Свойства функции $y = x^{n}$ при нечётном $n$ аналогичны свойствам функции $y = x^{3}$.
Свойства
1. Если $x = 0$, то $y = 0$. График функции проходит через начало координат.
2. Если $x > 0$, то $y > 0$, если $x < 0$, то $y < 0$. График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. Это следует из того, что при нечётном $n$ для любого значения $x$ верно равенство $( - x )^{n} = - x^{n}$.
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Область значений функции есть множество всех действительных чисел.
n при нечётном показателе n>1" loading="lazy" />
Рис. 4. График функции y=xn при нечётном показателе n>1
На рисунке 4 показано, как выглядит график функции $y = x^{n}$ при нечётном показателе $n$ $( n > 1 )$.
График степенной функции $y = x^{n}$ при нечётном показателе $n$ пересекает любая прямая $y = a$.
Упражнение 1
1. Выберите степенные функции с натуральным показателем:
а) $y = x$; б) $y = 5^{x}$; в) $y = x^{7}$; г) $y = - x^{98}$; д) $y = x^{1 . 5}$.
2. Постройте схематично и опишите свойства функции:
а) $y = - x^{3}$; б) $y = - x^{4}$.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте свойства функции $y = x^{n}$ при четном показателе $n$, нечетном показателе $n$.
Упражнение
1. а, в, г.
2. а) $x = 0$ нуль функции; область определения $x \in ( - \infty ; + \infty )$; область значений $y \in ( - \infty ; + \infty ) ;$функция убывает на всей области определения; наименьшего и наибольшего значений функции нет.
б) $x = 0$ — нуль функции; область определения $x \in ( - \infty ; + \infty )$; область значений $y \in ( - \infty ; 0 \left]\right. ;$функция возрастает на $( - \infty ; 0 \left]\right.$ функция убывает на $[ 0 ; + \infty )$; наибольшее значение функции $y = 0$ при $x = 0 ;$ наименьшего значения нет.
